1. Il problema chiede di trovare i punti di intersezione A e B tra la parabola di equazione $y=3x^2$ e la retta di equazione $3x + y = 6$, e poi calcolare la distanza tra i punti A e B. 2. Per trovare i punti di intersezione, dobbiamo risolvere il sistema: $$\begin{cases} y = 3x^2 \\ 3x + y = 6 \end{cases}$$ 3. Sostituiamo $y$ dalla prima equazione nella seconda: $$3x + 3x^2 = 6$$ 4. Portiamo tutto a sinistra per ottenere un'equazione quadratica: $$3x^2 + 3x - 6 = 0$$ 5. Dividiamo entrambi i membri per 3 per semplificare: $$\cancel{3}x^2 + \cancel{3}x - \cancel{6} = 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$$ 6. Risolviamo l'equazione quadratica $x^2 + x - 2 = 0$ usando la formula risolutiva: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ con $a=1$, $b=1$, $c=-2$. 7. Calcoliamo il discriminante: $$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ 8. Calcoliamo le radici: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ 9. Le due soluzioni sono: $$x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$$ 10. Troviamo i corrispondenti valori di $y$ usando $y=3x^2$: $$y_1 = 3 \cdot 1^2 = 3$$ $$y_2 = 3 \cdot (-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$$ 11. I punti di intersezione sono quindi: $$A = (1, 3)$$ $$B = (-2, 12)$$ 12. Calcoliamo la distanza $AB$ usando la formula della distanza tra due punti: $$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (12 - 3)^2}$$ 13. Calcoliamo i quadrati: $$(-3)^2 = 9$$ $$(9)^2 = 81$$ 14. Sommiamo e calcoliamo la radice: $$AB = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$$ 15. Risposta finale: la distanza tra i punti di intersezione A e B è $3\sqrt{10}$.