1. **مسئله اول: اجتماع، اشتراک و تفاضل بازه‌ها** (الف) اجتماع $(-\infty, 3] \cup [0, 8]$ یعنی همه اعداد که در یکی از این دو بازه هستند. (ب) اشتراک $(-\infty, 3] \cap [0, 8]$ یعنی اعدادی که در هر دو بازه مشترکند. (ج) تفاضل $(-\infty, 3] - [0, 8]$ یعنی اعدادی که در $(-\infty, 3]$ هستند ولی در $[0, 8]$ نیستند. **حل:** 1. اجتماع: از $-\infty$ تا 8 چون $[0,8]$ از 0 تا 8 است و $(-\infty,3]$ از منفی بی‌نهایت تا 3، پس اجتماع: $$(-\infty, 8]$$ 2. اشتراک: اعدادی که هم در $(-\infty,3]$ و هم در $[0,8]$ هستند یعنی از 0 تا 3: $$[0, 3]$$ 3. تفاضل: اعدادی که در $(-\infty,3]$ هستند ولی در $[0,8]$ نیستند یعنی از منفی بی‌نهایت تا 0: $$(-\infty, 0)$$ 2. **محاسبه عبارت‌های توان** 1) $3^{3^2} \times 3^0 \times (3^2)^3$ فرمول‌ها: - $a^m \times a^n = a^{m+n}$ - $(a^m)^n = a^{m \times n}$ - $a^0 = 1$ حل: $$3^{3^2} = 3^9$$ $$(3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6$$ پس: $$3^9 \times 3^0 \times 3^6 = 3^{9+0+6} = 3^{15}$$ 2) $\sqrt[3]{24} + 2 \sqrt[3]{81} + 2\sqrt{20} - \sqrt{45}$ ابتدا رادیکال‌ها را ساده می‌کنیم: - $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \times 3} = 2 \sqrt[3]{3}$ - $\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \times 3} = 3 \sqrt[3]{3}$ - $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$ - $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3 \sqrt{5}$ حالا جایگزین می‌کنیم: $$2 \sqrt[3]{3} + 2 \times 3 \sqrt[3]{3} + 2 \times 2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} = 2 \sqrt[3]{3} + 6 \sqrt[3]{3} + 4 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5}$$ جمع می‌کنیم: $$ (2+6) \sqrt[3]{3} + (4-3) \sqrt{5} = 8 \sqrt[3]{3} + \sqrt{5}$$ 3. **عبارت جبری** $14 x^2 y^3 - 21 x^5 y^2 + 28 x^3 y^3 + 7 x^2 y^2$ ابتدا عامل مشترک را خارج می‌کنیم: عامل مشترک: $7 x^2 y^2$ $$7 x^2 y^2 (2 y - 3 x^3 + 4 x y + 1)$$ 4. **ضرب کسرها** $$\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \times \frac{2x + 4}{x^2 + 3x}$$ ابتدا صورت و مخرج را تجزیه می‌کنیم: - $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ - $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$ - $2x + 4 = 2(x+2)$ - $x^2 + 3x = x(x+3)$ حالا جایگزین می‌کنیم: $$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)} \times \frac{2(x+2)}{x(x+3)}$$ حذف عوامل مشترک: - $(x-3)$ در صورت و مخرج - $(x+2)$ در صورت و مخرج - $(x+3)$ در صورت و مخرج می‌ماند: $$\frac{1}{1} \times \frac{2}{x} = \frac{2}{x}$$ 5. **حل معادله درجه دوم** $$2x^2 - 7x + 3 = 0$$ فرمول کلی: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ اینجا $a=2$, $b=-7$, $c=3$ محاسبه دلتا: $$\Delta = (-7)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25$$ ریشه‌ها: $$x = \frac{7 \pm 5}{4}$$ پس: $$x_1 = \frac{7+5}{4} = 3$$ $$x_2 = \frac{7-5}{4} = \frac{1}{2}$$ 6. **نامساوی قدر مطلق** $$|x - 3| \leq 5$$ تعریف: $$-5 \leq x - 3 \leq 5$$ جمع 3 به همه طرف‌ها: $$-2 \leq x \leq 8$$ 7. **عبارت‌های جبری با a و b** داده شده: $$3 = a + b$$ $$3 = a^2 b + a b^2$$ می‌خواهیم: A) $a^3 - ab + b^3$ B) $a^3 + ab + b^3$ ابتدا از رابطه دوم: $$a^2 b + a b^2 = ab(a + b) = ab \times 3 = 3$$ پس: $$ab = 1$$ حالا: $$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = 3^3 - 3 \times 1 \times 3 = 27 - 9 = 18$$ پس: A) $a^3 - ab + b^3 = (a^3 + b^3) - ab = 18 - 1 = 17$ B) $a^3 + ab + b^3 = (a^3 + b^3) + ab = 18 + 1 = 19$ 8. **تجزیه عبارات** A) $m^4 - 16 = (m^2)^2 - 4^2 = (m^2 - 4)(m^2 + 4) = (m-2)(m+2)(m^2 + 4)$ B) $m^3 - 4mn + 9n^3$ این عبارت کامل نیست برای تجزیه، فرض می‌کنیم $m^3 - 4mn + 9n^3$ است و تجزیه مستقیم ندارد. C) $a^\varepsilon . b^\varepsilon = (ab)^\varepsilon$ D) $(1 - n^3) - (1 + n)^3$ ابتدا $(1 + n)^3 = 1 + 3n + 3n^2 + n^3$ پس: $$(1 - n^3) - (1 + 3n + 3n^2 + n^3) = 1 - n^3 - 1 - 3n - 3n^2 - n^3 = -3n - 3n^2 - 2n^3$$ E) $\Sigma a^2 - (1 - y)^2$ این عبارت ناقص است و نیاز به اطلاعات بیشتر دارد. 9. **حل معادله داده شده** $$0 = 1 - 32 a^4 + 149 a^\varepsilon$$ عبارت ناقص است و نیاز به اطلاعات بیشتر دارد. 10. **اگر $a + b = 4$ و $ab = 2$ باشد:** A) $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = 4^3 - 3 \times 2 \times 4 = 64 - 24 = 40$ B) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 4^2 - 2 \times 2 = 16 - 4 = 12$ 11. **عبارت عددی $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$** مخرج مشترک: $$\frac{x - (x - 1)}{x(x-1)} = \frac{1}{x(x-1)}$$ 12. **میانگین نمرات** میانگین 3 آزمون: 16 مجموع نمرات 3 آزمون: $$16 \times 3 = 48$$ نمره آزمون چهارم: 19 میانگین 4 آزمون: $$\frac{48 + 19}{4} = \frac{67}{4} = 16.75$$ **خلاصه:** - (الف) $(-\infty, 8]$ - (ب) $[0, 3]$ - (ج) $(-\infty, 0)$ - $3^{15}$ - $8 \sqrt[3]{3} + \sqrt{5}$ - $7 x^2 y^2 (2 y - 3 x^3 + 4 x y + 1)$ - $\frac{2}{x}$ - $x=3$ یا $x=\frac{1}{2}$ - $-2 \leq x \leq 8$ - $A=17$, $B=19$ - $m^4 - 16 = (m-2)(m+2)(m^2 + 4)$ - $a^\varepsilon b^\varepsilon = (ab)^\varepsilon$ - $a^3 + b^3 = 40$, $a^2 + b^2 = 12$ - $\frac{1}{x(x-1)}$ - میانگین 4 آزمون: 16.75