1. مسئله را بیان می‌کنیم: باید مقدار $$g^{-1}(f^{-1}(8))$$ را پیدا کنیم که در آن $$f(x) = \frac{4x + 3}{2x - 4}$$ و $$g(x) = \frac{x^2 + 1}{4}$$. 2. ابتدا معکوس تابع $$f$$ را پیدا می‌کنیم. فرض کنیم $$y = f(x) = \frac{4x + 3}{2x - 4}$$. 3. برای یافتن $$f^{-1}(y)$$، معادله را نسبت به $$x$$ حل می‌کنیم: $$y = \frac{4x + 3}{2x - 4} \Rightarrow y(2x - 4) = 4x + 3$$ $$2xy - 4y = 4x + 3$$ $$2xy - 4x = 4y + 3$$ $$x(2y - 4) = 4y + 3$$ $$x = \frac{4y + 3}{2y - 4}$$ 4. بنابراین: $$f^{-1}(y) = \frac{4y + 3}{2y - 4}$$ 5. حال مقدار $$f^{-1}(8)$$ را محاسبه می‌کنیم: $$f^{-1}(8) = \frac{4(8) + 3}{2(8) - 4} = \frac{32 + 3}{16 - 4} = \frac{35}{12}$$ 6. اکنون باید $$g^{-1}\left(\frac{35}{12}\right)$$ را پیدا کنیم. تابع $$g$$ به صورت: $$g(x) = \frac{x^2 + 1}{4}$$ 7. برای یافتن معکوس $$g$$، فرض کنیم: $$y = \frac{x^2 + 1}{4} \Rightarrow 4y = x^2 + 1 \Rightarrow x^2 = 4y - 1$$ 8. بنابراین: $$x = \pm \sqrt{4y - 1}$$ 9. چون معکوس تابع باید تابع باشد، معمولاً دامنه $$g$$ را محدود می‌کنیم تا یک مقدار مثبت یا منفی را انتخاب کنیم. فرض می‌کنیم $$x \geq 0$$، پس: $$g^{-1}(y) = \sqrt{4y - 1}$$ 10. حال مقدار $$g^{-1}\left(\frac{35}{12}\right)$$ را محاسبه می‌کنیم: $$g^{-1}\left(\frac{35}{12}\right) = \sqrt{4 \times \frac{35}{12} - 1} = \sqrt{\frac{140}{12} - 1} = \sqrt{\frac{140}{12} - \frac{12}{12}} = \sqrt{\frac{128}{12}} = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$$ 11. پاسخ نهایی: $$g^{-1}(f^{-1}(8)) = \frac{4\sqrt{6}}{3}$$