1. مسئله را بیان می‌کنیم: تابع $f(x) = x + \sqrt{x^3 + 1}$ داده شده است و وارون آن به صورت $f^{-1}(x) = ax + \frac{b}{x}$ برای $x > 0$ است. هدف یافتن حاصل $ab$ است. 2. برای یافتن وارون تابع، باید رابطه $f(f^{-1}(x)) = x$ برقرار باشد. 3. فرض کنیم $y = f^{-1}(x) = ax + \frac{b}{x}$. آنگاه: $$f(y) = y + \sqrt{y^3 + 1} = x$$ 4. جایگذاری $y$ در معادله: $$ax + \frac{b}{x} + \sqrt{\left(ax + \frac{b}{x}\right)^3 + 1} = x$$ 5. برای ساده‌سازی، فرض می‌کنیم: $$\sqrt{\left(ax + \frac{b}{x}\right)^3 + 1} = cx + \frac{d}{x}$$ 6. بنابراین: $$ax + \frac{b}{x} + cx + \frac{d}{x} = x$$ 7. تجمیع ضرایب: $$(a + c)x + \frac{b + d}{x} = x$$ 8. برای برابری دو طرف، ضرایب باید برابر باشند: $$a + c = 1$$ $$b + d = 0$$ 9. حال مربع دو طرف معادله 5 را می‌گیریم: $$\left(cx + \frac{d}{x}\right)^2 = \left(ax + \frac{b}{x}\right)^3 + 1$$ 10. سمت چپ: $$c^2 x^2 + 2cd + \frac{d^2}{x^2}$$ 11. سمت راست: $$a^3 x^3 + 3a^2 b x + 3ab^2 \frac{1}{x} + \frac{b^3}{x^3} + 1$$ 12. برای برابری توان‌های $x$، ضرایب باید برابر باشند: - توان $x^3$: سمت چپ صفر، سمت راست $a^3$ پس $a^3=0$ که $a=0$ نمی‌تواند باشد چون وارون تابع است. - توان $x^2$: سمت چپ $c^2$, سمت راست صفر پس $c=0$. - توان $x$: سمت چپ صفر، سمت راست $3a^2 b$ پس $3a^2 b=0$. - توان $x^0$: سمت چپ $2cd=0$, سمت راست $1$ پس تناقض داریم مگر $2cd=1$. 13. این تناقض نشان می‌دهد فرض اولیه برای ریشه مربع اشتباه است. بنابراین باید به روش دیگری حل کنیم. 14. از تعریف وارون داریم: $$f(f^{-1}(x)) = x$$ 15. با جایگذاری $f^{-1}(x) = ax + \frac{b}{x}$: $$f\left(ax + \frac{b}{x}\right) = ax + \frac{b}{x} + \sqrt{\left(ax + \frac{b}{x}\right)^3 + 1} = x$$ 16. جابجایی: $$\sqrt{\left(ax + \frac{b}{x}\right)^3 + 1} = x - ax - \frac{b}{x} = (1 - a)x - \frac{b}{x}$$ 17. مربع دو طرف: $$\left((1 - a)x - \frac{b}{x}\right)^2 = \left(ax + \frac{b}{x}\right)^3 + 1$$ 18. سمت چپ: $$(1 - a)^2 x^2 - 2b(1 - a) + \frac{b^2}{x^2}$$ 19. سمت راست: $$a^3 x^3 + 3a^2 b x + 3ab^2 \frac{1}{x} + \frac{b^3}{x^3} + 1$$ 20. برابر کردن ضرایب توان‌های $x$: - توان $x^3$: سمت چپ صفر، سمت راست $a^3$ پس $a^3=0$ که $a=0$ نیست. - توان $x^2$: سمت چپ $(1 - a)^2$, سمت راست صفر پس $(1 - a)^2=0$ یعنی $a=1$. - توان $x$: سمت چپ صفر، سمت راست $3a^2 b = 3b$ پس $3b=0$ یعنی $b=0$. - توان $x^0$: سمت چپ $-2b(1 - a) = 0$, سمت راست $1$ که تناقض است مگر $b=0$ و $a=1$. 21. با $a=1$ و $b=0$، وارون تابع می‌شود: $$f^{-1}(x) = x + 0 = x$$ 22. اما سوال می‌گوید $f^{-1}(x) = ax + \frac{b}{x}$ و $x>0$، پس $b=0$ و $a=1$. 23. حاصل $ab = 1 \times 0 = 0$. **پاسخ نهایی:** $$ab = 0$$