1. Állítsuk fel az eredeti függvényt: $$y = x^2 - 2x - 3$$. 2. Az inverz függvény megtalálásához cseréljük fel az $x$ és $y$ változókat: $$x = y^2 - 2y - 3$$. 3. Oldjuk meg az egyenletet $y$-ra, mint ismeretlenre: $$y^2 - 2y - (3 + x) = 0$$. 4. Ez egy másodfokú egyenlet $y$-ra, ahol $a=1$, $b=-2$, $c=-(3+x)$. 5. Használjuk a másodfokú megoldóképletet: $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-(3+x))}}{2}$$. 6. Egyszerűsítve: $$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4(3+x)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4x + 16}}{2}$$. 7. Vegyük ki a közös tényezőt a gyök alól: $$y = \frac{2 \pm 2\sqrt{x + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{x + 4}$$. 8. Az inverz függvény tehát: $$f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x + 4}$$ vagy $$f^{-1}(x) = 1 - \sqrt{x + 4}$$. 9. Mivel az eredeti függvény nem egyértelmű (nem injektív) az egész értelmezési tartományán, az inverz függvény értelmezési tartományát és értékkészletét korlátozni kell, hogy egyértelmű legyen. Végső válasz: $$f^{-1}(x) = 1 \pm \sqrt{x + 4}$$, az értelmezési tartomány és értékkészlet függvényében.