1. **Stel het probleem vast:** Los de irrationale vergelijking $$2x - x^2 - \sqrt{6x^2 - 12x + 7} = 0$$ algebraïsch op in $$\mathbb{R}$$. 2. **Schrijf de vergelijking op:** $$2x - x^2 - \sqrt{6x^2 - 12x + 7} = 0$$ 3. **Isoleren van de wortel:** Breng de wortel naar de andere kant: $$2x - x^2 = \sqrt{6x^2 - 12x + 7}$$ 4. **Kwadrateren van beide zijden:** Om de wortel te elimineren, kwadrateer beide zijden: $$\left(2x - x^2\right)^2 = 6x^2 - 12x + 7$$ 5. **Uitwerken van de linkerkant:** $$\left(2x - x^2\right)^2 = ( -x^2 + 2x )^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2$$ 6. **Schrijf de vergelijking uit:** $$x^4 - 4x^3 + 4x^2 = 6x^2 - 12x + 7$$ 7. **Breng alles naar één kant:** $$x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 6x^2 + 12x - 7 = 0$$ $$x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x - 7 = 0$$ 8. **Zoek mogelijke oplossingen:** Deze vierdegraadsvergelijking kan worden geprobeerd te ontbinden of met numerieke methoden opgelost. We proberen ontbinding. 9. **Controleer op rationale wortels met delers van 7:** Mogelijke wortels: $$\pm1, \pm7$$ 10. **Test $$x=1$$:** $$1 - 4 - 2 + 12 - 7 = 0$$ $$1 - 4 = -3, -3 - 2 = -5, -5 + 12 = 7, 7 - 7 = 0$$ Dus $$x=1$$ is een wortel. 11. **Deel door $$(x-1)$$:** Gebruik polynoomdeling of synthetische deling: $$x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x - 7 \div (x-1) = x^3 - 3x^2 - 5x + 7$$ 12. **Los de derdegraadsvergelijking op:** $$x^3 - 3x^2 - 5x + 7 = 0$$ 13. **Test mogelijke wortels:** Test $$x=1$$: $$1 - 3 - 5 + 7 = 0$$ $$1 - 3 = -2, -2 - 5 = -7, -7 + 7 = 0$$ Dus $$x=1$$ is ook een wortel van deze derdegraadsvergelijking. 14. **Deel opnieuw door $$(x-1)$$:** $$x^3 - 3x^2 - 5x + 7 \div (x-1) = x^2 - 2x - 7$$ 15. **Los de kwadratische vergelijking op:** $$x^2 - 2x - 7 = 0$$ Gebruik de abc-formule: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{2}$$ 16. **Mogelijke oplossingen:** $$x = 1, x = 1 + 2\sqrt{2}, x = 1 - 2\sqrt{2}$$ 17. **Controleer de oplossingen in de oorspronkelijke vergelijking:** - Voor $$x=1$$: $$2(1) - 1^2 - \sqrt{6(1)^2 - 12(1) + 7} = 2 - 1 - \sqrt{6 - 12 + 7} = 1 - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0$$ Geldig. - Voor $$x = 1 + 2\sqrt{2}$$ (ongeveer 3.828): Controleer of $$2x - x^2 \geq 0$$ want het is gelijk aan de wortel. $$2x - x^2 = 2(3.828) - (3.828)^2 = 7.656 - 14.65 = -6.994 < 0$$ Negatief, dus ongeldig omdat wortel niet negatief kan zijn. - Voor $$x = 1 - 2\sqrt{2}$$ (ongeveer -1.828): $$2x - x^2 = 2(-1.828) - (-1.828)^2 = -3.656 - 3.34 = -6.996 < 0$$ Ook ongeldig. 18. **Conclusie:** De enige geldige oplossing is $$x = 1$$. **Antwoord:** $$x = 1$$