1. **Stel het probleem vast:** Los de irrationale vergelijking $$\sqrt{x-4} + \sqrt{x+1} = 5$$ op in de reële getallen. 2. **Bestaansvoorwaarden bepalen:** De uitdrukkingen onder de wortels moeten $\geq 0$ zijn. \[x-4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4\] \[x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\] De strengste voorwaarde is $x \geq 4$. 3. **Kwadrateren van de vergelijking:** Om de wortels te elimineren, kwadrateren we beide zijden: \[\left(\sqrt{x-4} + \sqrt{x+1}\right)^2 = 5^2\] \[x-4 + 2\sqrt{(x-4)(x+1)} + x+1 = 25\] \[2x - 3 + 2\sqrt{(x-4)(x+1)} = 25\] 4. **Isoleren van de wortelterm:** \[2\sqrt{(x-4)(x+1)} = 25 - 2x + 3 = 28 - 2x\] 5. **Opnieuw kwadrateren:** \[\left(2\sqrt{(x-4)(x+1)}\right)^2 = (28 - 2x)^2\] \[4(x-4)(x+1) = (28 - 2x)^2\] 6. **Uitwerken:** \[4(x^2 - 3x -4) = (28 - 2x)^2\] \[4x^2 - 12x - 16 = 784 - 112x + 4x^2\] 7. **Vereenvoudigen:** \[4x^2 - 12x - 16 - 784 + 112x - 4x^2 = 0\] \[-12x + 112x - 800 = 0\] \[100x - 800 = 0\] 8. **Oplossen voor $x$:** \[100x = 800\] \[x = \frac{800}{100} = 8\] 9. **Controleer de oplossing met de bestaansvoorwaarden:** \[x = 8 \geq 4\] voldoet. 10. **Controleer de oplossing in de originele vergelijking:** \[\sqrt{8-4} + \sqrt{8+1} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5\] Dit klopt. **Antwoord:** $x = 8$