Ishchi Ish Vaqt Cf58Bb

1. Bir ishchi buyurtmani 6 soatda, boshqasi esa 10 soatda bajaradi. Ular birgalikda 3 soat ishlaganglaridan keyin ishning qancha qismi bajarilmay qoladi? Ishchi 1 soatda ishning $\frac{1}{6}$ qismini bajaradi. Ishchi 2 soatda ishning $\frac{1}{10}$ qismini bajaradi. Birgalikda 1 soatda bajaradigan ish qismi: $$\frac{1}{6} + \frac{1}{10} = \frac{5}{30} + \frac{3}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$$ 3 soatda bajaradigan ish qismi: $$3 \times \frac{4}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$$ Bajarilmay qolgan ish qismi: $$1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$$ Javob: $\frac{1}{5}$ ish bajarilmay qoladi. 2. Birinchi brigada ishni 24 kunda, ikkinchisi esa 16 kunda tamomlay oladi. Agar birinchi brigadaga ikkinchi brigada 4 kun yorig‘lamsa, birinchi brigada ishni necha kunda tamomlay oladi? Birinchi brigada 1 kunda ishning $\frac{1}{24}$ qismini bajaradi. Ikkinchi brigada 1 kunda ishning $\frac{1}{16}$ qismini bajaradi. Ikkinchi brigada 4 kun ishlagan ish qismi: $$4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$$ Qolgan ish: $$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ Endi birinchi brigada $\frac{3}{4}$ ishni bajaradi, 1 kunda $\frac{1}{24}$ ish bajaradi, shuning uchun kerakli kunlar: $$\frac{3/4}{1/24} = \frac{3}{4} \times 24 = 18$$ Javob: 18 kun. 3. Biror topshiriqni usta 20 kunda, shogird 30 kunda bajaradi. Ular birgalikda ishlasa, bu topshiriq necha kunda bajariladi? Usta 1 kunda ishning $\frac{1}{20}$ qismini bajaradi. Shogird 1 kunda ishning $\frac{1}{30}$ qismini bajaradi. Birgalikda 1 kunda bajaradigan ish qismi: $$\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$$ Demak, ishni bajarish uchun kerakli kunlar: 12 Javob: 12 kun. 4. 12 ta ischi ma’lum miqdordagi ishni 4 soatda bajaradi. Xuddi shu ismi 3 soatda bajarish uchun necha ishchi kerak? Ishchilar soni va vaqt nisbatda teskari: $$12 \times 4 = x \times 3$$ $$x = \frac{12 \times 4}{3} = 16$$ Javob: 16 ishchi kerak. 5. Hovuzga uchta quvur o‘tkazilgan bo‘lib, birinchi va ikkinchi quvurlar birgalikda hovuzni 12 soatda, birinchi va uchinchi quvurlar birgalikda 15 soatda, ikkinchi va uchunchi quvurlar birgalikda 20 soatda to‘ldiradi. Uchala quvur birgalikda ochilsa, hovuzni necha soatda to‘ldiradi? Quvurlar tezliklarini $x,y,z$ deb olamiz. $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$$ $$\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{15}$$ $$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{20}$$ Uch tenglamani qo‘shamiz: $$2\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{5}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$$ Demak, $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{10}$$ Uchala quvur birgalikda hovuzni 10 soatda to‘ldiradi. Javob: 10 soat. 6. Ikkita ishchi birgalikda ishlab, ma’lum ishni 12 kunda tamomlaydi. Agar ishchilarning bittasi ish isining yarmini bajaradigan kuniy, ikkinchi ishchi qolgan yarmini bajarса, shu ishni 25 kunda tamomlashi mumkin. Ishchilardan biri boshqasiga qaraganda necha marta tez ishlaydi? Faraz qilaylik, ishchi 1 tezligi $x$, ishchi 2 tezligi $y$. Birgalikda ishni 12 kunda bajaradi: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$$ Agar ishchi 1 ishning yarmini bajaradi, ishchi 2 qolgan yarmini bajaradi, va ish 25 kunda bajariladi: $$\frac{1/2}{x} + \frac{1/2}{y} = \frac{1}{25}$$ Bu tenglama: $$\frac{1}{2x} + \frac{1}{2y} = \frac{1}{25}$$ $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{25}$$ Ammo birinchi tenglama $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$, bu mos kelmaydi, shuning uchun ishchilarning ish tezligi farq qiladi. Faraz qilaylik ishchi 1 ishni $a$ marta tez bajaradi, ya'ni $x = a y$. Birinchi tenglama: $$\frac{1}{a y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1+a}{a y} = \frac{1}{12} \Rightarrow y = 12 \frac{1+a}{a}$$ Ikkinchi tenglama: $$\frac{1/2}{a y} + \frac{1/2}{y} = \frac{1}{25} \Rightarrow \frac{1+a}{2 a y} = \frac{1}{25}$$ $$y = \frac{25 (1+a)}{2 a}$$ Tenglashtiramiz: $$12 \frac{1+a}{a} = \frac{25 (1+a)}{2 a}$$ $$12 = \frac{25}{2}$$ Bu noto'g'ri, shuning uchun ishchilardan biri ishning yarmini bajaradigan kuniy degan shartni tushunish boshqacha bo'lishi kerak. Agar ishchi 1 ishning yarmini $t_1$ kunda bajaradi, ishchi 2 qolgan yarmini $t_2$ kunda bajaradi, va $t_1 = t_2 = 25$ kun bo'lsa: $$\frac{1/2}{x} = \frac{1}{25} \Rightarrow x = \frac{25}{2}$$ $$\frac{1/2}{y} = \frac{1}{25} \Rightarrow y = \frac{25}{2}$$ Bu ham mos kelmaydi. Shuning uchun ishchilardan biri boshqasiga qaraganda necha marta tez ishlashini topish uchun: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$$ $$\frac{1}{2x} = \frac{1}{25}$$ (birinchi ishchi yarmini 25 kunda bajaradi) $$x = 50$$ Birinchi tenglamadan: $$\frac{1}{50} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{1}{12} - \frac{1}{50} = \frac{25 - 6}{300} = \frac{19}{300}$$ $$y = \frac{300}{19} \approx 15.79$$ Tezliklar nisbati: $$\frac{x}{y} = \frac{50}{15.79} \approx 3.17$$ Javob: ishchilardan biri boshqasiga qaraganda taxminan 3.17 marta tez ishlaydi. 7. Eski traktor maydonni 6 soatda, yangi esa 4 soatda haydaydi. Shu maydonni 3 ta eski va 2 ta yangi traktor qancha vaqtda haydaydi? Eski traktor 1 soatda maydonning $\frac{1}{6}$ qismini haydaydi. Yangi traktor 1 soatda maydonning $\frac{1}{4}$ qismini haydaydi. 3 ta eski va 2 ta yangi traktor 1 soatda haydaydigan maydon qismi: $$3 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{6} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$ Demak, ular 1 soatda maydonni haydaydi. Javob: 1 soat. 8. Mehnat unumdorligi bir xil bo‘lgan 9 kishi ma’lum hajmdagi ishni 15 kunda tugatishdi. 12 kishi o‘shanga mehnat unumdorligi bilan ishlasa, o‘sha hajmdagi ishni necha kunda tugatishi mumkin? Ishchilar soni va vaqt teskari proporsional: $$9 \times 15 = 12 \times x$$ $$x = \frac{9 \times 15}{12} = \frac{135}{12} = 11.25$$ Javob: 11.25 kun (ya'ni 11 1/4 kun).