1. 题目要求我们已知方程 $$k^2 - 3k + 1 = 0$$，求 $$k^4 + \frac{1}{k^4}$$ 的值。 2. 首先，我们需要利用已知方程来找到与 $$k$$ 相关的表达式，进而求出 $$k^4 + \frac{1}{k^4}$$。 3. 观察题目，注意到 $$k^4 + \frac{1}{k^4}$$ 可以通过 $$k + \frac{1}{k}$$ 的幂次关系来表达。 4. 先求 $$k + \frac{1}{k}$$：从方程 $$k^2 - 3k + 1 = 0$$ 两边同时除以 $$k$$（假设 $$k \neq 0$$），得到： $$\frac{k^2}{k} - \frac{3k}{k} + \frac{1}{k} = 0 \Rightarrow k - 3 + \frac{1}{k} = 0$$ 即： $$k + \frac{1}{k} = 3$$ 5. 利用平方公式计算 $$k^2 + \frac{1}{k^2}$$： $$\left(k + \frac{1}{k}\right)^2 = k^2 + 2 + \frac{1}{k^2}$$ 代入已知值： $$3^2 = k^2 + 2 + \frac{1}{k^2} \Rightarrow 9 = k^2 + 2 + \frac{1}{k^2}$$ 所以： $$k^2 + \frac{1}{k^2} = 9 - 2 = 7$$ 6. 继续计算 $$k^4 + \frac{1}{k^4}$$： $$\left(k^2 + \frac{1}{k^2}\right)^2 = k^4 + 2 + \frac{1}{k^4}$$ 代入已知值： $$7^2 = k^4 + 2 + \frac{1}{k^4} \Rightarrow 49 = k^4 + 2 + \frac{1}{k^4}$$ 所以： $$k^4 + \frac{1}{k^4} = 49 - 2 = 47$$ 7. 答案是 $$47$$。