1. Problem: Odrediti parametar $k$ tako da rješenja jednadžbe $$k^2x^2 - k(5k+1)x - (4k+2) = 0$$ budu kompleksna. 2. Za kvadratnu jednadžbu oblika $$ax^2 + bx + c = 0$$, rješenja su kompleksna ako je diskriminanta $$\Delta = b^2 - 4ac < 0$$. 3. Identificiramo koeficijente: $$a = k^2$$ $$b = -k(5k+1)$$ $$c = -(4k+2)$$ 4. Izračunamo diskriminantu: $$\Delta = b^2 - 4ac = [-k(5k+1)]^2 - 4(k^2)(-(4k+2))$$ 5. Raširimo i pojednostavimo: $$b^2 = k^2(5k+1)^2 = k^2(25k^2 + 10k + 1) = 25k^4 + 10k^3 + k^2$$ $$-4ac = -4k^2 (-(4k+2)) = 4k^2(4k+2) = 16k^3 + 8k^2$$ 6. Dakle, $$\Delta = 25k^4 + 10k^3 + k^2 + 16k^3 + 8k^2 = 25k^4 + (10k^3 + 16k^3) + (k^2 + 8k^2) = 25k^4 + 26k^3 + 9k^2$$ 7. Za kompleksna rješenja treba: $$\Delta < 0 \Rightarrow 25k^4 + 26k^3 + 9k^2 < 0$$ 8. Izvučemo zajednički faktor: $$k^2(25k^2 + 26k + 9) < 0$$ 9. Budući da je $$k^2 \geq 0$$ za svaki realan $k$, izraz $$k^2(25k^2 + 26k + 9) < 0$$ može biti negativan samo ako je $$25k^2 + 26k + 9 < 0$$ 10. Riješimo nejednadžbu kvadratne funkcije: Diskriminanta unutarnjeg izraza: $$\Delta_1 = 26^2 - 4 \cdot 25 \cdot 9 = 676 - 900 = -224 < 0$$ 11. Budući da je diskriminanta negativna, kvadratna funkcija $$25k^2 + 26k + 9$$ nema realnih korijena i budući da je koeficijent uz $$k^2$$ pozitivan, funkcija je uvijek pozitivna za sve realne $k$. 12. Zaključak: $$25k^2 + 26k + 9 > 0$$ za sve realne $k$, pa je $$k^2(25k^2 + 26k + 9) \geq 0$$ za sve realne $k$. 13. Dakle, diskriminanta nikada nije manja od nule za realne $k$, što znači da jednadžba nema kompleksna rješenja za realne vrijednosti $k$ osim ako je $$k=0$$ što nije dopušteno jer bi jednadžba postala degenerate. 14. Ako dozvolimo kompleksne $k$, tada diskriminanta može biti negativna, ali za realne $k$ nema kompleksnih rješenja. Finalni odgovor: Za realne vrijednosti parametra $k$ jednadžba nema kompleksna rješenja osim ako je $k=0$ što nije dopušteno. Dakle, nema realnih $k$ za koje su rješenja kompleksna.