1. Zadatak je odrediti sve kompleksne brojeve $z$ koji zadovoljavaju uvjete: $$\arg\left(z^3 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\right) = \frac{5\pi}{3}$$ i $$|z|^2 + |z| - 12 = 0.$$ 2. Prvo ćemo analizirati uvjet za argument. Koristimo svojstvo da je $$\arg(zw) = \arg(z) + \arg(w) \pmod{2\pi}.$$ Dakle, $$\arg(z^3) + \arg\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = \frac{5\pi}{3}.$$ 3. Izračunajmo $\arg\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$. To je kompleksni broj u obliku $\cos\theta + i\sin\theta$ s $\theta = -\frac{\pi}{3}$ jer je realni dio $\frac{1}{2}$, imaginarni dio $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Dakle, $$\arg\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -\frac{\pi}{3}.$$ 4. Uvrstimo u jednadžbu za argument: $$3\arg(z) - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \implies 3\arg(z) = \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi.$$ 5. Iz toga slijedi $$\arg(z) = \frac{2\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.$$ 6. Sada riješimo jednadžbu za modul $|z|$: $$|z|^2 + |z| - 12 = 0.$$ 7. Neka $r = |z|$. Jednadžba je kvadratna: $$r^2 + r - 12 = 0.$$ 8. Koristimo formulu za rješenje kvadratne jednadžbe: $$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}.$$ 9. Dva rješenja su: $$r_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3, \quad r_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4.$$ 10. Modul $r$ mora biti nenegativan, dakle prihvaćamo samo $r = 3$. 11. Konačno, kompleksni brojevi $z$ su u polarnom obliku: $$z = 3\left(\cos\theta + i\sin\theta\right), \quad \theta = \frac{2\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}.$$ 12. To su tri različita rješenja za $k=0,1,2$ unutar intervala $[0,2\pi)$: $$z_0 = 3\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right),$$ $$z_1 = 3\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right),$$ $$z_2 = 3\left(\cos 2\pi + i\sin 2\pi\right) = 3.$$