1. **Masalah:** Diberikan dua permutasi $f = (1\ 3\ 5\ 6\ 7)(4\ 8\ 9)$ dan $g = (1\ 5\ 6)(2\ 7\ 4)(7\ 8)$ di grup simetris $S_9$. Kita diminta menghitung komposisi permutasi: (a) $f \circ g$, (b) $g \circ f$, (c) $f \circ f$, (d) $g \circ g$, dan (e) mencari $h$ sehingga $f \circ h = g$. 2. **Aturan komposisi permutasi:** Komposisi $f \circ g$ berarti kita menerapkan $g$ terlebih dahulu, lalu $f$ pada hasilnya. Jadi, untuk setiap elemen $x$, $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. 3. **Langkah menghitung (a) $f \circ g$: ** - Ambil elemen $x$ dari 1 sampai 9. - Hitung $g(x)$ menggunakan siklus $g$. - Hitung $f(g(x))$ menggunakan siklus $f$. - Contoh: $x=1$, $g(1)=5$, lalu $f(5)=6$, jadi $(f \circ g)(1)=6$. - Ulangi untuk semua elemen dan tulis hasil dalam notasi siklus. 4. **Langkah menghitung (b) $g \circ f$: ** - Sama seperti (a), tapi urutannya terbalik: hitung $f(x)$ dulu, lalu $g(f(x))$. 5. **Langkah menghitung (c) $f \circ f$: ** - Terapkan $f$ dua kali berturut-turut. 6. **Langkah menghitung (d) $g \circ g$: ** - Terapkan $g$ dua kali berturut-turut. 7. **Langkah menghitung (e) mencari $h$ sehingga $f \circ h = g$: ** - Gunakan fakta bahwa $h = f^{-1} \circ g$. - Cari invers $f^{-1}$ dengan membalik siklus $f$. - Komposisikan $f^{-1}$ dengan $g$ untuk mendapatkan $h$. **Jawaban akhir:** (a) $f \circ g = (1\ 6\ 3\ 8)(2\ 5\ 7\ 9\ 4)$ (b) $g \circ f = (1\ 4\ 7\ 5)(2\ 3\ 6\ 8\ 9)$ (c) $f \circ f = (1\ 5\ 7\ 3\ 6)(2\ 9\ 8\ 1)$ (d) $g \circ g = (1\ 6\ 5)(2\ 4\ 3)(7\ 8)$ (e) $h = f^{-1} \circ g = (1\ 3\ 9\ 8\ 6\ 7\ 4\ 2)$