1. Konversikan sistem bilangan berikut: a. Konversi 78 dari basis 10 ke basis 2, 8, dan 16: - Basis 2: Bagi 78 dengan 2 berulang kali dan catat sisa: $$78 \div 2 = 39, sisa = 0$$ $$39 \div 2 = 19, sisa = 1$$ $$19 \div 2 = 9, sisa = 1$$ $$9 \div 2 = 4, sisa = 1$$ $$4 \div 2 = 2, sisa = 0$$ $$2 \div 2 = 1, sisa = 0$$ $$1 \div 2 = 0, sisa = 1$$ Jadi, 78₁₀ = 1001110₂. - Basis 8: Kelompokkan biner 3-bit dari kanan ke kiri: 1 001 110 1 = 1, 001 = 1, 110 = 6 Jadi, 78₁₀ = 116₈. - Basis 16: Kelompokkan biner 4-bit dari kanan ke kiri: 0100 1110 0100 = 4, 1110 = E Jadi, 78₁₀ = 4E₁₆. b. Konversi 101100₂ ke basis 10, 8, dan 16: - Basis 10: $$1\times2^5 + 0\times2^4 + 1\times2^3 + 1\times2^2 + 0\times2^1 + 0\times2^0 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 = 44$$ - Basis 8: Kelompokkan 3-bit: 10 110 0 (tambahkan nol di depan untuk 3-bit: 010 110 0) 010 = 2, 110 = 6, 0 = 0 (tambah nol di kanan jadi 000) Jadi, 101100₂ = 54₈. - Basis 16: Kelompokkan 4-bit: 1011 00 (tambahkan nol di kanan: 1011 0000) 1011 = B, 0000 = 0 Jadi, 101100₂ = B0₁₆. c. Konversi 67₈ ke basis 2, 10, dan 16: - Basis 10: $$6\times8^1 + 7\times8^0 = 48 + 7 = 55$$ - Basis 2: Konversi tiap digit oktal ke biner 3-bit: 6 = 110, 7 = 111 Jadi, 67₈ = 110111₂. - Basis 16: Konversi 55₁₀ ke heksadesimal: $$55 \div 16 = 3, sisa 7$$ Jadi, 55₁₀ = 37₁₆. d. Konversi 1A₅₁₆ ke basis 2, 10, dan 8: - Basis 10: 1A₁₆ = $$1\times16^1 + 10\times16^0 = 16 + 10 = 26$$ - Basis 2: Konversi tiap digit heksadesimal ke biner 4-bit: 1 = 0001, A = 1010 Jadi, 1A₁₆ = 00011010₂. - Basis 8: Kelompokkan biner 3-bit dari kanan: 000 110 10 (tambahkan nol di depan dan belakang: 000 110 010) 000 = 0, 110 = 6, 010 = 2 Jadi, 1A₁₆ = 062₈. 2. Tentukan nilai x dari persamaan linier: a. $$4(x+5) - 6(2x+3) = 3(x+14) - 2(5-x) + 9$$ - Kembangkan: $$4x + 20 - 12x - 18 = 3x + 42 - 10 + 2x + 9$$ $$-8x + 2 = 5x + 41$$ - Pindahkan variabel ke satu sisi: $$-8x - 5x = 41 - 2$$ $$-13x = 39$$ - Selesaikan: $$x = \frac{39}{-13} = -3$$ b. $$\frac{2x+1}{3} - \frac{2x+5}{5} = 2 + \frac{x-1}{6}$$ - Cari KPK 30, kalikan seluruh persamaan: $$10(2x+1) - 6(2x+5) = 60 + 5(x-1)$$ $$20x + 10 - 12x - 30 = 60 + 5x - 5$$ $$8x - 20 = 55 + 5x$$ - Pindahkan variabel: $$8x - 5x = 55 + 20$$ $$3x = 75$$ - Selesaikan: $$x = 25$$ 3. Tentukan nilai x, y, dan z dari sistem: $$2x + 3y - z = -5$$ $$x - 4y + 2z = 21$$ $$5x + 2y - 3z = -4$$ - Gunakan eliminasi atau substitusi: - Dari persamaan 1: $$z = 2x + 3y + 5$$ - Substitusi ke persamaan 2: $$x - 4y + 2(2x + 3y + 5) = 21$$ $$x - 4y + 4x + 6y + 10 = 21$$ $$5x + 2y = 11$$ - Substitusi ke persamaan 3: $$5x + 2y - 3(2x + 3y + 5) = -4$$ $$5x + 2y - 6x - 9y - 15 = -4$$ $$-x - 7y = 11$$ - Sistem dua persamaan: $$5x + 2y = 11$$ $$-x - 7y = 11$$ - Kalikan persamaan kedua dengan 5: $$-5x - 35y = 55$$ - Jumlahkan dengan persamaan pertama: $$(5x + 2y) + (-5x - 35y) = 11 + 55$$ $$-33y = 66$$ $$y = -2$$ - Substitusi y ke $$5x + 2y = 11$$: $$5x + 2(-2) = 11$$ $$5x - 4 = 11$$ $$5x = 15$$ $$x = 3$$ - Substitusi x dan y ke $$z = 2x + 3y + 5$$: $$z = 2(3) + 3(-2) + 5 = 6 - 6 + 5 = 5$$ 4. Selesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapi kuadrat sempurna: a. $$2x^2 - 4x - 3 = 0$$ - Bagi 2: $$x^2 - 2x - \frac{3}{2} = 0$$ - Pindahkan konstanta: $$x^2 - 2x = \frac{3}{2}$$ - Tambah kuadrat setengah koefisien x: $$\left(\frac{-2}{2}\right)^2 = 1$$ $$x^2 - 2x + 1 = \frac{3}{2} + 1$$ $$(x - 1)^2 = \frac{5}{2}$$ - Selesaikan: $$x - 1 = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$$ $$x = 1 \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$$ b. $$5x^2 + 10x + 2 = 0$$ - Bagi 5: $$x^2 + 2x + \frac{2}{5} = 0$$ - Pindahkan konstanta: $$x^2 + 2x = -\frac{2}{5}$$ - Tambah kuadrat setengah koefisien x: $$\left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1$$ $$x^2 + 2x + 1 = -\frac{2}{5} + 1$$ $$(x + 1)^2 = \frac{3}{5}$$ - Selesaikan: $$x + 1 = \pm \sqrt{\frac{3}{5}}$$ $$x = -1 \pm \sqrt{\frac{3}{5}}$$ c. $$3x^2 + 12x - 18 = 0$$ - Bagi 3: $$x^2 + 4x - 6 = 0$$ - Pindahkan konstanta: $$x^2 + 4x = 6$$ - Tambah kuadrat setengah koefisien x: $$\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$$ $$x^2 + 4x + 4 = 6 + 4$$ $$(x + 2)^2 = 10$$ - Selesaikan: $$x + 2 = \pm \sqrt{10}$$ $$x = -2 \pm \sqrt{10}$$ 5. Gambarlah kurva fungsi kuadrat: $$y = -x^2 + 4x - 3$$ - Fungsi kuadrat dengan koefisien negatif pada $$x^2$$ membuka ke bawah. - Titik puncak (vertex) dihitung dengan rumus: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$$ $$y_v = - (2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$$ - Titik puncak di (2,1). - Akar-akar (nilai x saat y=0) dengan rumus kuadrat: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} = \frac{-4 \pm 2}{-2}$$ Jadi akar: $$x_1 = \frac{-4 + 2}{-2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-4 - 2}{-2} = 3$$ Jawaban akhir: a. 78₁₀ = 1001110₂ = 116₈ = 4E₁₆ b. 101100₂ = 44₁₀ = 54₈ = B0₁₆ c. 67₈ = 110111₂ = 55₁₀ = 37₁₆ d. 1A₁₆ = 00011010₂ = 26₁₀ = 062₈ x dari persamaan: a. x = -3 b. x = 25 Sistem linear: x = 3, y = -2, z = 5 Kuadrat sempurna: a. x = 1 \pm \sqrt{\frac{5}{2}} b. x = -1 \pm \sqrt{\frac{3}{5}} c. x = -2 \pm \sqrt{10} Kurva kuadrat: Vertex di (2,1), akar di x=1 dan x=3, parabola membuka ke bawah.