1. **Problem statement:** Berechne die fehlenden Koordinaten der Punkte A, A' und C, C' sowie die fehlenden Komponenten der Vektoren $\vec{v}^*$. 2. **Gegebene Informationen:** - Punkt A: $A(2|\square)$ - Punkt A': $A'(\square|5)$ - Vektor $\vec{v}^* = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ - Punkt C: $C\left(\frac{2}{3}|\square\right)$ - Punkt C': $C'(1{,}5|\frac{1}{3})$ - Vektor $\vec{v}^* = \begin{pmatrix} \square \\ -\frac{4}{3} \end{pmatrix}$ 3. **Wichtig:** Der Vektor $\vec{v}^*$ beschreibt die Verschiebung von Punkt $P$ zu $P'$, also gilt: $$\vec{v}^* = P' - P = \begin{pmatrix} x' - x \\ y' - y \end{pmatrix}$$ 4. **Berechnung für A und A':** \[ \vec{v}^* = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{A'} - 2 \\ 5 - y_A \end{pmatrix} \] Daraus folgt: - Für die x-Koordinate von A': $$2 = x_{A'} - 2 \implies x_{A'} = 2 + 2 = 4$$ - Für die y-Koordinate von A: $$-4 = 5 - y_A \implies y_A = 5 + 4 = 9$$ Also: - $A = (2|9)$ - $A' = (4|5)$ 5. **Berechnung für C und C':** \[ \vec{v}^* = \begin{pmatrix} x_{C'} - \frac{2}{3} \\ y_{C'} - y_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \square \\ -\frac{4}{3} \end{pmatrix} \] Gegeben ist $C' = (1{,}5|\frac{1}{3})$, also: - Für die x-Komponente des Vektors: $$x_{C'} - \frac{2}{3} = \square \implies \square = 1{,}5 - \frac{2}{3} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$$ - Für die y-Koordinate von C: $$-\frac{4}{3} = \frac{1}{3} - y_C \implies y_C = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$$ Also: - $C = \left(\frac{2}{3} | \frac{5}{3}\right)$ - Vektor $\vec{v}^* = \begin{pmatrix} \frac{5}{6} \\ -\frac{4}{3} \end{pmatrix}$ **Endergebnis:** - $A = (2|9)$, $A' = (4|5)$ - $C = \left(\frac{2}{3} | \frac{5}{3}\right)$, $C' = (1{,}5|\frac{1}{3})$ - Vektoren $\vec{v}^*$ vollständig bestimmt.