1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Kostenfunktion eines Kinderstuhls $$K(x) = 0{,}05 \cdot x^2 + 6 \cdot x + 260$$ und der Preis pro Stück ist 20. Gesucht sind die Fixkosten, die Erlösfunktion, die Gewinnfunktion und die Gewinngrenzen. 2. **Fixkosten bestimmen:** Fixkosten sind die Kosten, die auch bei einer Produktion von null Stück anfallen. Das ist der konstante Term in der Kostenfunktion. $$\text{Fixkosten} = K(0) = 0{,}05 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 + 260 = 260$$ 3. **Erlösfunktion aufstellen:** Der Erlös $$E(x)$$ ist der Preis pro Stück multipliziert mit der Anzahl der verkauften Stücke $$x$$. $$E(x) = 20 \cdot x$$ 4. **Gewinnfunktion aufstellen:** Gewinn $$G(x)$$ ist Erlös minus Kosten. $$G(x) = E(x) - K(x) = 20x - (0{,}05x^2 + 6x + 260)$$ $$G(x) = 20x - 0{,}05x^2 - 6x - 260$$ $$G(x) = -0{,}05x^2 + (20 - 6)x - 260$$ $$G(x) = -0{,}05x^2 + 14x - 260$$ 5. **Gewinngrenzen berechnen:** Gewinngrenzen sind die Werte von $$x$$, bei denen der Gewinn null ist. $$G(x) = 0 \Rightarrow -0{,}05x^2 + 14x - 260 = 0$$ Multiplizieren wir die Gleichung mit $$-1$$, um das Vorzeichen zu vereinfachen: $$0{,}05x^2 - 14x + 260 = 0$$ Um die Brüche zu vermeiden, multiplizieren wir mit 20: $$20 \cdot 0{,}05x^2 - 20 \cdot 14x + 20 \cdot 260 = 0$$ $$x^2 - 280x + 5200 = 0$$ Jetzt wenden wir die Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel) an: $$x = \frac{280 \pm \sqrt{280^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5200}}{2}$$ Berechnen wir die Diskriminante: $$\Delta = 280^2 - 4 \cdot 5200 = 78400 - 20800 = 57600$$ $$\sqrt{57600} = 240$$ Also: $$x_1 = \frac{280 - 240}{2} = \frac{40}{2} = 20$$ $$x_2 = \frac{280 + 240}{2} = \frac{520}{2} = 260$$ **Antwort:** Die Fixkosten betragen 260. Die Erlösfunktion ist $$E(x) = 20x$$. Die Gewinnfunktion ist $$G(x) = -0{,}05x^2 + 14x - 260$$. Die Gewinngrenzen sind $$x = 20$$ und $$x = 260$$.