1. **Problemstellung:** Gegeben sind die Kosten eines Betriebs für eine Produktserie mit folgenden Informationen: - Kosten bei Ausbringungsmenge 4 ME: 60 GE - Minimale Grenzkosten: 3 GE bei einer Produktion von 3 ME - Kurzfristige Preisuntergrenze: Stückpreis 6 GE bei 3 ME Gesucht ist der Funktionsterm der Kostenfunktion $K(x)$. 2. **Formel und Annahmen:** Wir nehmen an, dass die Kostenfunktion $K(x)$ quadratisch ist, da Grenzkosten minimal bei $x=3$ ME sind. Die allgemeine Form lautet: $$K(x) = ax^2 + bx + c$$ Die Grenzkosten $K'(x)$ sind die Ableitung: $$K'(x) = 2ax + b$$ 3. **Wichtige Regeln:** - Minimale Grenzkosten bei $x=3$ bedeutet, dass $K'(x)$ dort ein Minimum hat, also $K''(3) = 0$ oder $K'(3)$ ist minimal. - Die Grenzkosten an der Stelle 3 sind 3 GE, also $K'(3) = 3$. - Die Kosten bei $x=4$ sind 60 GE, also $K(4) = 60$. 4. **Bestimmung der Koeffizienten:** Da $K'(x) = 2ax + b$ ein Minimum bei $x=3$ hat, ist die Ableitung der Grenzkosten null bei $x=3$: $$K''(x) = 2a$$ Da $K''(x)$ konstant ist, ist das Minimum der Grenzkosten bei $x=3$ nur möglich, wenn $a=0$ oder $K'(x)$ linear ist. Da Grenzkosten minimal bei $x=3$ sind, ist $K'(x)$ eine lineare Funktion mit Minimum bei $x=3$, also: $$K'(3) = 3$$ und $K'(x)$ hat ein Minimum bei $x=3$, also ist $K'(x)$ eine Parabel, also $K'(x) = 2ax + b$ mit $a>0$. 5. **Minimum der Grenzkosten bei $x=3$:** Das Minimum von $K'(x)$ liegt bei $x=3$, also: $$K''(3) = 0$$ Da $K''(x) = 2a$, ist $a=0$ nicht möglich, sonst wäre $K'(x)$ konstant. Alternativ interpretieren wir, dass die Grenzkosten $K'(x)$ minimal bei $x=3$ sind, also $K'(x)$ hat ein Minimum bei $x=3$, somit ist $K'(x)$ eine quadratische Funktion: $$K'(x) = d(x-3)^2 + e$$ Da Grenzkosten minimal 3 GE bei $x=3$ sind, gilt: $$K'(3) = e = 3$$ 6. **Integration zur Kostenfunktion:** Integrieren wir $K'(x)$: $$K(x) = \int K'(x) dx = \int d(x-3)^2 + 3 dx = d \int (x-3)^2 dx + 3x + f$$ $$= d \frac{(x-3)^3}{3} + 3x + f$$ 7. **Kosten bei $x=4$:** $$K(4) = d \frac{(4-3)^3}{3} + 3 \cdot 4 + f = d \frac{1}{3} + 12 + f = 60$$ 8. **Preisuntergrenze bei $x=3$:** Kurzfristige Preisuntergrenze ist Stückpreis 6 GE bei 3 ME, also: $$\frac{K(3)}{3} = 6 \Rightarrow K(3) = 18$$ 9. **Kosten bei $x=3$:** $$K(3) = d \frac{(3-3)^3}{3} + 3 \cdot 3 + f = 0 + 9 + f = 18$$ 10. **Lösen des Gleichungssystems:** Aus $K(3) = 18$ folgt: $$9 + f = 18 \Rightarrow f = 9$$ Aus $K(4) = 60$ folgt: $$d \frac{1}{3} + 12 + 9 = 60 \Rightarrow \frac{d}{3} + 21 = 60 \Rightarrow \frac{d}{3} = 39 \Rightarrow d = 117$$ 11. **Endgültige Kostenfunktion:** $$K(x) = 117 \frac{(x-3)^3}{3} + 3x + 9 = 39 (x-3)^3 + 3x + 9$$ 12. **Zusammenfassung:** Die Kostenfunktion lautet: $$K(x) = 39 (x-3)^3 + 3x + 9$$ Dies erfüllt alle gegebenen Bedingungen.