1. **Planteamiento del problema:** Se tiene el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} -cy + bz = k \\ cx - az = m \\ -bx + ay = n \end{cases}$$ con parámetros $a,b,c,k,m,n \in \mathbb{R}$. 2. **Objetivo:** Clasificar el sistema según el Teorema de Kronecker-Capelli, que dice: - El sistema es compatible (tiene solución) si el rango de la matriz de coeficientes $A$ es igual al rango de la matriz ampliada $[A|B]$. - Es incompatible (sin solución) si estos rangos son distintos. - Si el rango es igual al número de incógnitas, la solución es única. - Si el rango es menor que el número de incógnitas, hay infinitas soluciones. 3. **Matriz de coeficientes $A$ y matriz ampliada $[A|B]$:** $$A = \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} k \\ m \\ n \end{pmatrix}$$ 4. **Cálculo del determinante de $A$:** $$\det(A) = 0 \quad \text{(porque $A$ es matriz antisimétrica de orden impar)}$$ Esto implica que $\operatorname{rank}(A) < 3$. 5. **Cálculo del rango de $A$:** - Si $a=b=c=0$, entonces $A$ es la matriz nula y $\operatorname{rank}(A)=0$. - Si al menos uno de $a,b,c$ es distinto de cero, el rango de $A$ es 2 (porque $A$ es matriz antisimétrica y no nula de orden 3). 6. **Condiciones para el rango de la matriz ampliada $[A|B]$:** - Para $\operatorname{rank}([A|B]) = \operatorname{rank}(A)$, el vector $B$ debe estar en el espacio generado por las columnas de $A$. 7. **Espacio columna de $A$:** El espacio columna de $A$ es ortogonal al vector $\vec{v} = (a,b,c)$, ya que $A$ es matriz antisimétrica y satisface $A\vec{v} = 0$. 8. **Condición de compatibilidad:** Para que $B$ esté en la imagen de $A$, debe cumplirse: $$a k + b m + c n = 0$$ 9. **Clasificación del sistema:** - Si $a=b=c=0$: - Si $k=m=n=0$, el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). - Si alguno de $k,m,n$ es distinto de cero, el sistema es incompatible. - Si $(a,b,c) \neq (0,0,0)$: - Si $a k + b m + c n = 0$, el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). - Si $a k + b m + c n \neq 0$, el sistema es incompatible. 10. **Resumen:** $$\begin{cases} \text{Si } a=b=c=0 \text{ y } k=m=n=0, & \text{sistema compatible indeterminado} \\ \text{Si } a=b=c=0 \text{ y } \exists k,m,n \neq 0, & \text{sistema incompatible} \\ \text{Si } (a,b,c) \neq (0,0,0) \text{ y } a k + b m + c n = 0, & \text{sistema compatible indeterminado} \\ \text{Si } (a,b,c) \neq (0,0,0) \text{ y } a k + b m + c n \neq 0, & \text{sistema incompatible} \end{cases}$$