1. **Problem statement:** Bestimmen Sie einen Funktionsterm 3. Grades, der durch die Punkte $P_1(0, -1)$, $P_2(1, 1)$, $P_3(-1, -7)$ und $P_4(\frac{1}{2}, -\frac{5}{8})$ verläuft. 2. **Allgemeine Form der Funktion:** $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ 3. **Punkte einsetzen, um Gleichungssystem zu erstellen:** - Für $P_1(0, -1)$: $$a\cdot0^3 + b\cdot0^2 + c\cdot0 + d = -1 \Rightarrow d = -1$$ - Für $P_2(1, 1)$: $$a + b + c + d = 1$$ - Für $P_3(-1, -7)$: $$-a + b - c + d = -7$$ - Für $P_4(\frac{1}{2}, -\frac{5}{8})$: $$a\left(\frac{1}{2}\right)^3 + b\left(\frac{1}{2}\right)^2 + c\left(\frac{1}{2}\right) + d = -\frac{5}{8}$$ 4. **Bekannt: $d = -1$ einsetzen:** - $a + b + c - 1 = 1 \Rightarrow a + b + c = 2$ - $-a + b - c - 1 = -7 \Rightarrow -a + b - c = -6$ - $a\cdot\frac{1}{8} + b\cdot\frac{1}{4} + c\cdot\frac{1}{2} - 1 = -\frac{5}{8}$ 5. **Letzte Gleichung vereinfachen:** $$\frac{a}{8} + \frac{b}{4} + \frac{c}{2} = -\frac{5}{8} + 1 = \frac{3}{8}$$ Multiplizieren mit 8: $$a + 2b + 4c = 3$$ 6. **Gleichungssystem:** $$\begin{cases} a + b + c = 2 \\ -a + b - c = -6 \\ a + 2b + 4c = 3 \end{cases}$$ 7. **Addiere erste und zweite Gleichung:** $$ (a - a) + (b + b) + (c - c) = 2 + (-6) \Rightarrow 2b = -4 \Rightarrow b = -2$$ 8. **Setze $b = -2$ in erste Gleichung ein:** $$a - 2 + c = 2 \Rightarrow a + c = 4$$ 9. **Setze $b = -2$ in dritte Gleichung ein:** $$a + 2(-2) + 4c = 3 \Rightarrow a - 4 + 4c = 3 \Rightarrow a + 4c = 7$$ 10. **Subtrahiere Gleichung aus Schritt 8 von der aus Schritt 9:** $$ (a + 4c) - (a + c) = 7 - 4 \Rightarrow 3c = 3 \Rightarrow c = 1$$ 11. **Setze $c = 1$ in $a + c = 4$ ein:** $$a + 1 = 4 \Rightarrow a = 3$$ 12. **Endergebnis:** $$a = 3, \quad b = -2, \quad c = 1, \quad d = -1$$ 13. **Funktion:** $$f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 1$$