1. **Opgave 4: Omskriv til produkt via kvadratsætningerne** Vi bruger kvadratsætningerne: - $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ - $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ - $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ **1)** $x^2 + 4y^2 + 4xy$ Her kan vi genkende $(x + 2y)^2 = x^2 + 2\cdot x \cdot 2y + (2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$ **2)** $25a^2 + 4b^2 - 20ab$ Dette er $(5a)^2 + (2b)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 2b = (5a - 2b)^2$ **3)** $n^2 - 64m^2$ Dette er en forskel på kvadrater: $n^2 - (8m)^2 = (n - 8m)(n + 8m)$ **4)** $36x^2 - 25$ Igen forskel på kvadrater: $(6x)^2 - 5^2 = (6x - 5)(6x + 5)$ **5)** $100a^2 + 9 + 60a$ Genkend $(10a + 3)^2 = 100a^2 + 2 \cdot 10a \cdot 3 + 9 = 100a^2 + 60a + 9$ 2. **Opgave 5: Omskriv til produkt via kvadratsætningerne** **1)** $a^2 + \frac{1}{4}b^2 - ab$ Dette er $(a - \frac{1}{2}b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2}b + \left(\frac{1}{2}b\right)^2 = a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2$ **2)** $\frac{1}{9}a^2 + 9b^2 + 2ab$ Genkend $(\frac{1}{3}a + 3b)^2 = \frac{1}{9}a^2 + 2 \cdot \frac{1}{3}a \cdot 3b + 9b^2 = \frac{1}{9}a^2 + 2ab + 9b^2$ **3)** $\frac{4}{9}x^2 - \frac{16}{25}y^2$ Forskellen på kvadrater: $(\frac{2}{3}x)^2 - (\frac{4}{5}y)^2 = (\frac{2}{3}x - \frac{4}{5}y)(\frac{2}{3}x + \frac{4}{5}y)$ **4)** $4n^2m^2 - a^2$ Forskellen på kvadrater: $(2nm)^2 - a^2 = (2nm - a)(2nm + a)$ **5)** $\frac{9}{25}a^4 - b^2$ Forskellen på kvadrater: $(\frac{3}{5}a^2)^2 - b^2 = (\frac{3}{5}a^2 - b)(\frac{3}{5}a^2 + b)$ **6)** $\frac{4}{49}a^4 + 49b^2 - 4a^2b$ Genkend $(\frac{2}{7}a^2 - 7b)^2 = \frac{4}{49}a^4 - 2 \cdot \frac{2}{7}a^2 \cdot 7b + 49b^2 = \frac{4}{49}a^4 - 4a^2b + 49b^2$ 3. **Opgave 6: Reducer følgende udtryk** **1)** $\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a - b}$ Tælert er $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a - b} = \frac{(a - b)^2}{a - b} = \frac{\cancel{(a - b)}(a - b)}{\cancel{a - b}} = a - b$$ **2)** $\frac{4x^2 - \frac{1}{4}b^2}{2x - \frac{1}{2}b}$ Tælert er forskel på kvadrater: $$4x^2 - \frac{1}{4}b^2 = (2x)^2 - \left(\frac{1}{2}b\right)^2 = (2x - \frac{1}{2}b)(2x + \frac{1}{2}b)$$ Så: $$\frac{(2x - \frac{1}{2}b)(2x + \frac{1}{2}b)}{2x - \frac{1}{2}b} = \frac{\cancel{(2x - \frac{1}{2}b)}(2x + \frac{1}{2}b)}{\cancel{2x - \frac{1}{2}b}} = 2x + \frac{1}{2}b$$ **3)** $\frac{\frac{25}{4}x^2 + 4y^2 + 10xy}{\frac{5}{2}x + 2y}$ Tælert kan omskrives som kvadrat: $$\frac{25}{4}x^2 + 4y^2 + 10xy = \left(\frac{5}{2}x + 2y\right)^2$$ Så: $$\frac{\left(\frac{5}{2}x + 2y\right)^2}{\frac{5}{2}x + 2y} = \frac{\cancel{\left(\frac{5}{2}x + 2y\right)}\left(\frac{5}{2}x + 2y\right)}{\cancel{\frac{5}{2}x + 2y}} = \frac{5}{2}x + 2y$$