1. Uzdevums: Aprēķināt laukumu starp līknēm $$y = 4 - x^2$$ un $$y = x^2 - 2x$$. 2. Formulas un pieņēmumi: Laukumu starp divām funkcijām $$y = f(x)$$ un $$y = g(x)$$ intervālā $$[a,b]$$ aprēķina pēc formulas $$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$. 3. Atrodam krustpunktus, kur $$4 - x^2 = x^2 - 2x$$: $$4 - x^2 = x^2 - 2x$$ $$4 = 2x^2 - 2x$$ $$2x^2 - 2x - 4 = 0$$ $$x^2 - x - 2 = 0$$ Faktorizējam: $$(x - 2)(x + 1) = 0$$ Tātad $$x = 2$$ vai $$x = -1$$. 4. Noskaidrojam, kura funkcija ir augstāk starp $$x = -1$$ un $$x = 2$$. Piemēram, pie $$x=0$$: $$y_1 = 4 - 0 = 4$$ $$y_2 = 0 - 0 = 0$$ Tātad $$y = 4 - x^2$$ ir augstāk. 5. Aprēķinām laukumu: $$A = \int_{-1}^2 \left[(4 - x^2) - (x^2 - 2x)\right] dx = \int_{-1}^2 (4 - x^2 - x^2 + 2x) dx = \int_{-1}^2 (4 - 2x^2 + 2x) dx$$ 6. Integrējam: $$\int (4 - 2x^2 + 2x) dx = 4x - \frac{2x^3}{3} + x^2 + C$$ 7. Aizstājam robežas: $$A = \left[4x - \frac{2x^3}{3} + x^2\right]_{-1}^2 = \left(4\cdot 2 - \frac{2 \cdot 8}{3} + 4\right) - \left(4 \cdot (-1) - \frac{2 \cdot (-1)^3}{3} + 1\right)$$ $$= (8 - \frac{16}{3} + 4) - (-4 + \frac{2}{3} + 1) = (12 - \frac{16}{3}) - (-3 + \frac{2}{3}) = \left(\frac{36}{3} - \frac{16}{3}\right) - \left(-\frac{9}{3} + \frac{2}{3}\right) = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9$$ Atbilde: laukums ir $$9$$ vienības kvadrātā.