1. **Enunțul problemei:** Avem o lege de compoziție definită prin $$x * y = \sqrt{(x^2 + 2)(y^2 + 2)} + m,$$ unde $m \in [-4, +\infty)$. 2. **a) Pentru $m=3$, arătați că $0 * 1 = 3$.** Calculăm: $$0 * 1 = \sqrt{(0^2 + 2)(1^2 + 2)} + 3 = \sqrt{2 \cdot 3} + 3 = \sqrt{6} + 3.$$ Dar $\sqrt{6} + 3 \neq 3$, deci trebuie să verificăm dacă enunțul este corect sau dacă s-a cerut altceva. Totuși, dacă interpretăm cerința ca să arătăm că $0 * 1 = m = 3$, atunci: $$0 * 1 = \sqrt{2 \cdot 3} + 3 = \sqrt{6} + 3,$$ care nu este egal cu 3. Probabil s-a dorit să se arate că $0 * 1 = m$ pentru $m=3$. 3. **b) Pentru $m=7$, determinați numerele reale $x$ pentru care $x * (2x) = 5$.** Folosim definiția: $$x * (2x) = \sqrt{(x^2 + 2)((2x)^2 + 2)} + 7 = 5.$$ Calculăm: $$(2x)^2 = 4x^2,$$ Deci: $$\sqrt{(x^2 + 2)(4x^2 + 2)} + 7 = 5,$$ $$\sqrt{(x^2 + 2)(4x^2 + 2)} = 5 - 7 = -2.$$ Dar rădăcina pătrată este întotdeauna $\geq 0$, deci ecuația nu are soluții reale. 4. **c) Determinați $m \in [-4, +\infty)$ pentru care legea de compoziție "*" este asociativă.** Legea este asociativă dacă pentru orice $x,y,z$: $$(x * y) * z = x * (y * z).$$ Calculăm ambele părți: - Mai întâi, $x * y = \sqrt{(x^2 + 2)(y^2 + 2)} + m$. - Atunci: $$(x * y) * z = \sqrt{((x * y)^2 + 2)(z^2 + 2)} + m,$$ unde $$(x * y)^2 = \left(\sqrt{(x^2 + 2)(y^2 + 2)} + m\right)^2 = (x^2 + 2)(y^2 + 2) + 2m\sqrt{(x^2 + 2)(y^2 + 2)} + m^2.$$ Deci: $$(x * y) * z = \sqrt{\left[(x^2 + 2)(y^2 + 2) + 2m\sqrt{(x^2 + 2)(y^2 + 2)} + m^2 + 2\right](z^2 + 2)} + m.$$ - Similar: $$y * z = \sqrt{(y^2 + 2)(z^2 + 2)} + m,$$ $$(y * z)^2 = (y^2 + 2)(z^2 + 2) + 2m\sqrt{(y^2 + 2)(z^2 + 2)} + m^2,$$ și $$x * (y * z) = \sqrt{(x^2 + 2)((y * z)^2 + 2)} + m = \sqrt{(x^2 + 2)\left[(y^2 + 2)(z^2 + 2) + 2m\sqrt{(y^2 + 2)(z^2 + 2)} + m^2 + 2\right]} + m.$$ Pentru asociativitate, trebuie: $$\sqrt{\left[(x^2 + 2)(y^2 + 2) + 2m\sqrt{(x^2 + 2)(y^2 + 2)} + m^2 + 2\right](z^2 + 2)} = \sqrt{(x^2 + 2)\left[(y^2 + 2)(z^2 + 2) + 2m\sqrt{(y^2 + 2)(z^2 + 2)} + m^2 + 2\right]}.$$ Ridicăm la pătrat ambele părți: $$\left[(x^2 + 2)(y^2 + 2) + 2m\sqrt{(x^2 + 2)(y^2 + 2)} + m^2 + 2\right](z^2 + 2) = (x^2 + 2)\left[(y^2 + 2)(z^2 + 2) + 2m\sqrt{(y^2 + 2)(z^2 + 2)} + m^2 + 2\right].$$ Această egalitate trebuie să fie adevărată pentru orice $x,y,z$ reale. Analizăm termenii: Termenii fără radicali sunt simetrici și egali: $$(x^2 + 2)(y^2 + 2)(z^2 + 2) + (m^2 + 2)(z^2 + 2) = (x^2 + 2)(y^2 + 2)(z^2 + 2) + (x^2 + 2)(m^2 + 2).$$ Pentru ca egalitatea să fie adevărată pentru orice $x,y,z$, trebuie: $$(m^2 + 2)(z^2 + 2) = (x^2 + 2)(m^2 + 2).$$ Aceasta este posibilă doar dacă $m^2 + 2 = 0$, dar $m^2 + 2 > 0$ pentru orice $m$ real. Deci, singura posibilitate este ca termenii cu radical să se anuleze: $$2m\sqrt{(x^2 + 2)(y^2 + 2)}(z^2 + 2) = 2m(x^2 + 2)\sqrt{(y^2 + 2)(z^2 + 2)}.$$ Împărțim ambele părți la $2m$ (presupunem $m \neq 0$): $$\sqrt{(x^2 + 2)(y^2 + 2)}(z^2 + 2) = (x^2 + 2)\sqrt{(y^2 + 2)(z^2 + 2)}.$$ Ridicăm la pătrat: $$((x^2 + 2)(y^2 + 2))(z^2 + 2)^2 = (x^2 + 2)^2((y^2 + 2)(z^2 + 2)).$$ Simplificăm: $$(x^2 + 2)(y^2 + 2)(z^2 + 2)^2 = (x^2 + 2)^2(y^2 + 2)(z^2 + 2).$$ Împărțim ambele părți la $(y^2 + 2)(z^2 + 2)$: $$(x^2 + 2)(z^2 + 2) = (x^2 + 2)^2.$$ Aceasta implică: $$(x^2 + 2)(z^2 + 2) = (x^2 + 2)^2,$$ adică $$z^2 + 2 = x^2 + 2,$$ adică $$z^2 = x^2.$$ Aceasta nu este adevărată pentru orice $x,z$, deci egalitatea nu este valabilă pentru orice $x,y,z$ dacă $m \neq 0$. Dacă $m=0$, atunci termenii cu radical dispar și avem: $$x * y = \sqrt{(x^2 + 2)(y^2 + 2)}.$$ Atunci: $$(x * y) * z = \sqrt{((x * y)^2 + 2)(z^2 + 2)} = \sqrt{((x^2 + 2)(y^2 + 2) + 2)(z^2 + 2)},$$ $$x * (y * z) = \sqrt{(x^2 + 2)((y * z)^2 + 2)} = \sqrt{(x^2 + 2)((y^2 + 2)(z^2 + 2) + 2)}.$$ Acestea sunt egale deoarece înmulțirea este comutativă și asociativă pentru numere reale pozitive. **Concluzie:** Legea este asociativă doar pentru $m=0$. --- **Răspuns final:** - a) Pentru $m=3$, $0 * 1 = \sqrt{2 \cdot 3} + 3 = \sqrt{6} + 3 \neq 3$. - b) Pentru $m=7$, ecuația $x * (2x) = 5$ nu are soluții reale. - c) Legea este asociativă doar pentru $m=0$.