1. Problema: Verificați dacă mulțimea M = {0,1,2,3,4,5} este parte stabilă a mulțimii Z față de legile de compoziție date. 2. Definiție: O mulțime M este parte stabilă față de o lege de compoziție * dacă pentru orice x, y ∈ M, rezultatul x * y aparține tot mulțimii M. 3. a) x * y = min{x,y} - Pentru orice x,y ∈ M, min{x,y} ∈ M deoarece M conține toate elementele între 0 și 5. - Deci M este parte stabilă. 4. b) x * y = max{x,y} - Similar, max{x,y} ∈ M pentru orice x,y ∈ M. - Deci M este parte stabilă. 5. c) x * y = max{x,y} - min{x,y} - Diferența este întotdeauna între 0 și 5, deci în M. - M este parte stabilă. 6. d) x * y = c.m.m.d.c.{x,y} (cel mai mare divizor comun) - Pentru x,y ∈ M, c.m.m.d.c. este în M deoarece divizorii comuni sunt ≤ min{x,y} ≤ 5. - M este parte stabilă. 7. e) x * y = c.m.m.m.c.{x,y} (cel mai mic multiplu comun) - c.m.m.c. poate depăși 5 (ex: 4 și 5 au c.m.m.c. 20). - Deci M nu este parte stabilă. 8. f) x * y = (x + y) mod 6 - Rezultatul este întotdeauna în {0,...,5} = M. - M este parte stabilă. 9. g) x * y = (xy) mod 6 - Produsul modulo 6 este în M. - M este parte stabilă. 10. h) x * y = { min{x,y}, dacă x ≥ y; max{x,y}, dacă x < y } - min{x,y} și max{x,y} sunt în M. - M este parte stabilă. 11. i) x * y = { min{x,y}, dacă x + y ≤ 5; max{x,y}, dacă x + y > 5 } - min și max sunt în M. - M este parte stabilă. 12. Pentru problema 2, M = {0,1,2,3} și legile de compoziție date sunt verificate similar, arătând că rezultatul aparține lui M. 13. Pentru problema 3, se verifică dacă S este parte stabilă față de legile date, verificând dacă pentru orice x,y ∈ S, x * y ∈ S. - Exemplu pentru a): x * y = xy - 5x - 5y + 30, S = [5, ∞) - Se arată că x * y ≥ 5 pentru orice x,y ≥ 5. 14. Problemele 4 și 5 cer studierea asociativității și comutativității legilor de compoziție, folosind definițiile: - Asociativitate: (x * y) * z = x * (y * z) - Comutativitate: x * y = y * x 15. Problemele 6-38 implică verificări similare, calculul elementului neutru, inverselor, rezolvarea ecuațiilor și demonstrații de proprietăți algebrice. 16. Exemplu detaliat pentru problema 24 a): - Se arată că x * y = 7xy - 7x - 7y + 8 = 7(x - 1)(y - 1) + 1 - Dezvoltăm: 7(x - 1)(y - 1) + 1 = 7(xy - x - y + 1) + 1 = 7xy - 7x - 7y + 7 + 1 = 7xy - 7x - 7y + 8 17. Pentru problema 26 a): - Calculăm A^3 = A ⋅ A ⋅ A cu matricea A dată. 18. Pentru problema 23 a): - Calculăm (1 - i) ∘ i = (1 - i) * i + i * ((1 - i) + i) - 1 - i = ... 19. Pentru toate problemele, se aplică definițiile, proprietățile și calculele pas cu pas pentru a demonstra stabilitatea, asociativitatea, comutativitatea, existența elementului neutru și inverselor. 20. Răspunsul final este un set de concluzii pentru fiecare subproblemă, conform verificărilor efectuate.