1. Planteamos el problema: Encontrar el valor de $b$ para que exista el límite $$\lim_{x \to -1} \frac{b x^3 + 3x^2 - 2x - 3}{x^2 + 3x + 2}$$ 2. Observamos que el denominador se puede factorizar: $$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$$ 3. Para que el límite exista en $x = -1$, el denominador no debe ser cero o el numerador debe anularse en $x = -1$ para que se pueda simplificar la expresión. 4. Evaluamos el denominador en $x = -1$: $$( -1 + 1)( -1 + 2) = 0 \times 1 = 0$$ 5. Por lo tanto, el numerador también debe ser cero en $x = -1$ para evitar una indeterminación. 6. Evaluamos el numerador en $x = -1$: $$b(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) - 3 = -b + 3 + 2 - 3 = -b + 2$$ 7. Igualamos a cero para encontrar $b$: $$-b + 2 = 0$$ $$b = 2$$ 8. Con $b = 2$, el numerador y denominador tienen un factor común $(x + 1)$, por lo que podemos simplificar: Numerador: $$2x^3 + 3x^2 - 2x - 3$$ Probamos división sintética o factorización para confirmar que $(x + 1)$ es factor. 9. Dividimos el numerador por $(x + 1)$: $$\frac{2x^3 + 3x^2 - 2x - 3}{x + 1} = 2x^2 + x - 3$$ 10. Simplificamos la expresión del límite: $$\lim_{x \to -1} \frac{2x^3 + 3x^2 - 2x - 3}{(x + 1)(x + 2)} = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(2x^2 + x - 3)}{(x + 1)(x + 2)} = \lim_{x \to -1} \frac{2x^2 + x - 3}{x + 2}$$ 11. Evaluamos el límite sustituyendo $x = -1$: $$\frac{2(-1)^2 + (-1) - 3}{-1 + 2} = \frac{2 - 1 - 3}{1} = \frac{-2}{1} = -2$$ Respuesta final: El valor de $b$ para que exista el límite es $b = 2$ y el valor del límite es $-2$.