1. Planteamos el problema: calcular el valor de $b$ para que $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + bx + 2 - (x + 1)} = 3$$ 2. Simplificamos la expresión dentro de la raíz: $$x^2 + bx + 2 - (x + 1) = x^2 + bx + 2 - x - 1 = x^2 + (b-1)x + 1$$ 3. Para límites con raíces cuadradas de polinomios de grado 2, usamos la regla: $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{ax^2 + bx + c} = \lim_{x \to \infty} |x| \sqrt{a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}} = \infty$$ Pero aquí queremos que el límite sea finito, entonces debemos analizar la expresión para que el límite sea un número real. 4. Reescribimos la expresión dentro del límite: $$\sqrt{x^2 + (b-1)x + 1} = \sqrt{x^2 \left(1 + \frac{b-1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)} = |x| \sqrt{1 + \frac{b-1}{x} + \frac{1}{x^2}}$$ 5. Para $x \to \infty$, $|x| = x$, entonces: $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + (b-1)x + 1} = \lim_{x \to \infty} x \sqrt{1 + \frac{b-1}{x} + \frac{1}{x^2}}$$ 6. Expandimos la raíz usando la aproximación para $x$ grande: $$\sqrt{1 + \frac{b-1}{x} + \frac{1}{x^2}} \approx 1 + \frac{b-1}{2x}$$ 7. Entonces: $$x \left(1 + \frac{b-1}{2x}\right) = x + \frac{b-1}{2}$$ 8. El límite original es: $$\lim_{x \to \infty} \left(x + \frac{b-1}{2}\right) = \infty$$ Esto no puede ser igual a 3, por lo que el límite no existe para $x \to \infty$. 9. Probamos el límite cuando $x \to 1$ para que la expresión dentro de la raíz tienda a 0 y el límite sea finito: Evaluamos la expresión dentro de la raíz en $x=1$: $$1^2 + b(1) + 2 - (1 + 1) = 1 + b + 2 - 2 = b + 1$$ Para que la raíz sea 0 en $x=1$, debe cumplirse: $$b + 1 = 0 \Rightarrow b = -1$$ 10. Ahora calculamos el límite cuando $x \to 1$ con $b = -1$: $$\lim_{x \to 1} \sqrt{x^2 - x + 2 - (x + 1)} = \lim_{x \to 1} \sqrt{x^2 - x + 2 - x - 1} = \lim_{x \to 1} \sqrt{x^2 - 2x + 1} = \lim_{x \to 1} |x - 1|$$ 11. El límite lateral derecho es 0, no 3, por lo que no es el valor buscado. 12. Probamos el límite cuando $x \to 0$: Evaluamos la expresión dentro de la raíz en $x=0$: $$0 + 0 + 2 - (0 + 1) = 1$$ No se anula, por lo que el límite no es 3. 13. Por lo tanto, el límite debe ser evaluado cuando $x \to \infty$ y la expresión dentro de la raíz debe tender a 9 para que la raíz sea 3. 14. Para que el límite sea 3, la expresión dentro de la raíz debe tender a 9: $$\lim_{x \to \infty} x^2 + bx + 2 - (x + 1) = 9$$ Pero para $x \to \infty$, $x^2$ domina y el límite tiende a infinito, no a 9. 15. Por lo tanto, el límite debe ser evaluado cuando $x \to 1$ y la expresión dentro de la raíz debe tender a 9: $$\lim_{x \to 1} \sqrt{x^2 + bx + 2 - (x + 1)} = 3$$ 16. Evaluamos la expresión dentro de la raíz en $x=1$: $$1 + b + 2 - 2 = b + 1$$ Para que la raíz sea 3: $$\sqrt{b + 1} = 3 \Rightarrow b + 1 = 9 \Rightarrow b = 8$$ 17. Respuesta final: $$b = 8$$