1. **Problema:** Calcolare il limite della funzione $$y = \frac{x}{(2x + 1)^2 - (x - 1)^2}$$ e semplificare l'espressione. 2. **Formula e regole importanti:** Per semplificare il denominatore, usiamo la differenza di quadrati: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$. 3. **Svolgimento:** Calcoliamo il denominatore: $$(2x + 1)^2 - (x - 1)^2 = [(2x + 1) - (x - 1)] \cdot [(2x + 1) + (x - 1)]$$ 4. Calcoliamo ogni termine: $$(2x + 1) - (x - 1) = 2x + 1 - x + 1 = x + 2$$ $$(2x + 1) + (x - 1) = 2x + 1 + x - 1 = 3x$$ 5. Quindi il denominatore diventa: $$(x + 2)(3x) = 3x(x + 2)$$ 6. La funzione diventa: $$y = \frac{x}{3x(x + 2)}$$ 7. Possiamo semplificare $x$ al numeratore e denominatore (per $x \neq 0$): $$y = \frac{1}{3(x + 2)}$$ 8. **Conclusione:** La funzione semplificata è $$y = \frac{1}{3(x + 2)}$$ per $x \neq 0$. 9. Per studiare i limiti, possiamo analizzare il comportamento vicino a punti critici come $x = -2$ (dove il denominatore si annulla) e $x = 0$. 10. Ad esempio, il limite per $x \to -2$ da destra e sinistra è: $$\lim_{x \to -2^{\pm}} y = \lim_{x \to -2^{\pm}} \frac{1}{3(x + 2)} = \pm \infty$$ 11. Il limite per $x \to 0$ è: $$\lim_{x \to 0} y = \frac{1}{3(0 + 2)} = \frac{1}{6}$$ Questo esercizio mostra come semplificare espressioni razionali e studiare i limiti in punti di discontinuità.