1. Planteamos el problema: Encontrar el valor de $b$ para que exista el límite $$\lim_{x \to -1} \frac{b(x^3 + 3x^2 - 2x - 3)}{x^2 + 3x + 2}.$$\n\n2. Observamos que el denominador es un polinomio cuadrático que puede factorizarse:\n$$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).$$\n\n3. Evaluamos el denominador en $x = -1$:\n$$(-1)^2 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0,$$\nlo que indica que el denominador se anula en $x = -1$. Para que el límite exista, el numerador también debe anularse en $x = -1$ para evitar división por cero.\n\n4. Factorizamos el numerador $x^3 + 3x^2 - 2x - 3$ usando división sintética o agrupación:\nAgrupamos términos:\n$$x^3 + 3x^2 - 2x - 3 = (x^3 + 3x^2) - (2x + 3) = x^2(x + 3) - 1(2x + 3).$$\nNo es factor común directo, intentamos división sintética con $x = -1$:\nDividimos $x^3 + 3x^2 - 2x - 3$ entre $(x + 1)$:\n\nCoeficientes: 1, 3, -2, -3\n\n-1 | 1 3 -2 -3\n | -1 -2 4\n ----------------\n 1 2 -4 1\n\nEl residuo es 1, no es divisible por $(x + 1)$.\n\n5. Como el numerador no se anula en $x = -1$, el límite no existe para ningún valor de $b$ a menos que multipliquemos el numerador por $b$ y el límite se defina por otro método.\n\n6. Sin embargo, para que el límite exista, el límite debe ser finito. Evaluamos el límite multiplicando y dividiendo por $(x + 1)$ para simplificar:\n\nIntentamos factorizar el numerador para encontrar un factor $(x + 1)$:\nProbamos $x = -1$ en el numerador:\n$$(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) - 3 = -1 + 3 + 2 - 3 = 1 \neq 0,$$\npor lo que no es divisible por $(x + 1)$.\n\n7. Por lo tanto, el límite sólo puede existir si el numerador se anula en $x = -1$ multiplicado por $b$, es decir:\n$$b \cdot 1 = 0 \Rightarrow b = 0.$$\n\n8. Con $b = 0$, el límite es:\n$$\lim_{x \to -1} \frac{0}{x^2 + 3x + 2} = 0,$$\nque existe y es finito.\n\nRespuesta final: $$b = 0.$$