1. Planteamos el problema: Encontrar el valor de $b$ para que exista el límite $$\lim_{x \to -1} \frac{b x^3 + 3x^2 - 2x - 3}{x^2 + 3x + 2}.$$\n\n2. Observamos que el denominador es un polinomio cuadrático que se puede factorizar:\n$$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).$$\n\n3. Para que el límite exista en $x \to -1$, el denominador no debe ser cero o el numerador debe anularse en $x = -1$ para evitar división por cero. Evaluamos el denominador en $x = -1$:\n$$(-1)^2 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0.$$\n\n4. Por lo tanto, el numerador también debe ser cero en $x = -1$ para que el límite exista. Evaluamos el numerador en $x = -1$:\n$$b(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) - 3 = -b + 3 + 2 - 3 = -b + 2.$$\n\n5. Igualamos a cero para encontrar $b$:\n$$-b + 2 = 0 \implies b = 2.$$\n\n6. Con $b = 2$, el numerador y denominador se anulan en $x = -1$, por lo que podemos simplificar la expresión para encontrar el límite.\n\n7. Sustituimos $b = 2$ en el numerador:\n$$2x^3 + 3x^2 - 2x - 3.$$\n\n8. Factorizamos el numerador usando división sintética o factorización por raíces. Probamos $x = -1$:\n$$2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) - 3 = -2 + 3 + 2 - 3 = 0,$$\nconfirmando que $(x + 1)$ es factor.\n\n9. Dividimos el numerador por $(x + 1)$:\n$$\frac{2x^3 + 3x^2 - 2x - 3}{x + 1} = 2x^2 + x - 3.$$\n\n10. Por lo tanto, la expresión original se puede escribir como:\n$$\frac{(x + 1)(2x^2 + x - 3)}{(x + 1)(x + 2)}.$$\n\n11. Cancelamos el factor común $(x + 1)$:\n$$\frac{\cancel{(x + 1)}(2x^2 + x - 3)}{\cancel{(x + 1)}(x + 2)} = \frac{2x^2 + x - 3}{x + 2}.$$\n\n12. Evaluamos el límite sustituyendo $x = -1$ en la expresión simplificada:\n$$\frac{2(-1)^2 + (-1) - 3}{-1 + 2} = \frac{2 - 1 - 3}{1} = \frac{-2}{1} = -2.$$\n\nRespuesta final: El valor de $b$ para que exista el límite es $b = 2$, y el límite es $-2$.