1. Planteamos el primer problema: calcular el límite $$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8x^2 + 21x - 18}{x^4 + x^3 - 8x - 8}$$. 2. Evaluamos directamente en $x=2$ para verificar si es un caso de indeterminación: $$\frac{2^3 - 8\cdot 2^2 + 21\cdot 2 - 18}{2^4 + 2^3 - 8\cdot 2 - 8} = \frac{8 - 32 + 42 - 18}{16 + 8 - 16 - 8} = \frac{0}{0}$$ Es indeterminado, por lo que factorizamos numerador y denominador. 3. Factorizamos el numerador: $$x^3 - 8x^2 + 21x - 18$$ Probamos $x=2$ como raíz: $$2^3 - 8\cdot 2^2 + 21\cdot 2 - 18 = 0$$ Entonces dividimos por $(x-2)$: $$\frac{x^3 - 8x^2 + 21x - 18}{x-2} = x^2 - 6x + 9$$ Así, $$x^3 - 8x^2 + 21x - 18 = (x-2)(x^2 - 6x + 9)$$ 4. Factorizamos el denominador: $$x^4 + x^3 - 8x - 8$$ Agrupamos: $$(x^4 + x^3) - (8x + 8) = x^3(x+1) - 8(x+1) = (x+1)(x^3 - 8)$$ 5. Factorizamos $x^3 - 8$ como diferencia de cubos: $$x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$$ 6. Entonces el denominador es: $$(x+1)(x-2)(x^2 + 2x + 4)$$ 7. Simplificamos la expresión original: $$\frac{(x-2)(x^2 - 6x + 9)}{(x+1)(x-2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{\cancel{(x-2)}(x^2 - 6x + 9)}{(x+1)\cancel{(x-2)}(x^2 + 2x + 4)} = \frac{x^2 - 6x + 9}{(x+1)(x^2 + 2x + 4)}$$ 8. Evaluamos el límite sustituyendo $x=2$: Numerador: $$2^2 - 6\cdot 2 + 9 = 4 - 12 + 9 = 1$$ Denominador: $$(2+1)(2^2 + 2\cdot 2 + 4) = 3(4 + 4 + 4) = 3 \times 12 = 36$$ 9. Resultado final: $$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8x^2 + 21x - 18}{x^4 + x^3 - 8x - 8} = \frac{1}{36}$$ Respuesta correcta: B) 1/36