1. **Planteamiento del problema:** Se tiene la función de ingresos anuales en millones de dólares en función de la inversión en I+D (x en millones): $$I(x) = \frac{2x^2 + 5x}{x + 1}$$ Se requiere: - Calcular el límite de $I(x)$ cuando $x \to 10$. - Calcular el límite de $I(x)$ cuando $x \to \infty$. - Determinar si existe alguna discontinuidad y su significado. 2. **Límite cuando $x \to 10$:** Sustituimos directamente porque el denominador no es cero en $x=10$: $$I(10) = \frac{2(10)^2 + 5(10)}{10 + 1} = \frac{200 + 50}{11} = \frac{250}{11}$$ 3. **Límite cuando $x \to \infty$:** Para límites en el infinito de funciones racionales, dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de $x$ en el denominador, que es $x$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 5x}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2/x + 5x/x}{x/x + 1/x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 5}{1 + \frac{1}{x}}$$ Al evaluar el límite: $$= \lim_{x \to \infty} (2x + 5) = \infty$$ 4. **Discontinuidades:** La función es racional, por lo que puede tener discontinuidades donde el denominador sea cero: $$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$$ En $x = -1$ la función no está definida, por lo que hay una discontinuidad. 5. **Significado administrativo:** La discontinuidad en $x = -1$ no tiene sentido práctico porque la inversión no puede ser negativa. Por lo tanto, en el dominio real y positivo de inversión, la función es continua. **Respuesta final:** - $\lim_{x \to 10} I(x) = \frac{250}{11} \approx 22.73$ millones. - $\lim_{x \to \infty} I(x) = \infty$ (los ingresos crecen sin límite con la inversión). - Discontinuidad en $x = -1$, fuera del dominio práctico.