1. Calculer les limites : - $\lim_{x \to 3^-} (x-3)$. Comme $x$ tend vers 3 par la gauche, $x-3$ tend vers $0$ par valeurs négatives donc: $$\lim_{x \to 3^-} (x-3) = 0^-$$ - $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^3 + x^2 + 2} - 2x$. Pour simplifier, on factorise $x^{3/2}$ à l’intérieur de la racine: $$\sqrt{x^3 + x^2 + 2} = \sqrt{x^3(1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3})} = x^{3/2} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}}$$ Divisons par $x$: $$\sqrt{x^3 + x^2 + 2} - 2x = x^{3/2} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}} - 2x = x\left( x^{1/2} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}} - 2 \right)$$ Comme $x \to +\infty$, $x^{1/2} \to +\infty$ et $\sqrt{1 + o(1)} \to 1$, donc terme dominant est $x \times ( +\infty - 2 ) = +\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3+2} - x = $? On écrit: $$\sqrt[3]{x^3+2} - x = x \left( \sqrt[3]{1 + \frac{2}{x^3}} - 1 \right)$$ Utilisons le développement pour $t \to 0$: $\sqrt[3]{1+t} = 1 + \frac{t}{3} + o(t)$, donc: $$= x \left( 1 + \frac{2}{3x^3} -1 + o(\frac{1}{x^3}) \right) = x \left( \frac{2}{3x^3} + o(\frac{1}{x^3}) \right) = \frac{2}{3x^2} + o(\frac{1}{x^2}) \to 0$$ Donc $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3+2} - x = 0$$ 2. Calculer les dérivées : - Pour $h(x) = \cos(7 + 5x)$: $$h'(x) = -\sin(7 + 5x) \times 5 = -5 \sin(7 + 5x)$$ - Pour $f(x) = \cos(x)(7 + 5x)$, produit de deux fonctions : $$f'(x) = -\sin(x)(7 + 5x) + \cos(x) \times 5 = - (7+5x) \sin(x) + 5 \cos(x)$$ - Pour $g(x) = \sqrt[4]{x^2 - 6x + 2} = (x^2 - 6x + 2)^{1/4}$: $$g'(x) = \frac{1}{4} (x^2 - 6x + 2)^{-3/4} \times (2x -6) = \frac{2x - 6}{4(x^2 - 6x + 2)^{3/4}}$$ 3. Étude de la fonction $f(x) = x^3 + x - 1$ : 1- Dérivée: $$f'(x) = 3x^2 + 1 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$ Donc $f$ est strictement croissante. 2- L’équation $f(x) = 0$ admet une seule solution $\alpha$, car $f$ strictement croissante avec $$f(0) = -1 < 0 \quad \text{et} \quad f(1) = 1 + 1 -1 = 1 > 0,$$ par le théorème des valeurs intermédiaires, $\alpha \in (0,1)$. 3- Encadrement de $\alpha$ d’amplitude 0.25, par exemple $[0.5, 0.75]$ ou $[0.6, 0.85]$ à vérifier en évaluant $f$. 4- Signe de $f(x)$ : négatif pour $x < \alpha$, positif pour $x > \alpha$ car $f$ strictement croissante. 5- Montrer que: $$\alpha = \sqrt[3]{1 - \alpha}$$ Car $f(\alpha) = 0 \iff \alpha^3 + \alpha -1=0 \iff \alpha^3 = 1 - \alpha \iff \alpha = \sqrt[3]{1-\alpha}$$ 4. Exercice 3, fonction $g(x) = x + 2 - 4\sqrt{x+3}$: 1- Domaine de définition: $x+3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$, donc $D_g = [-3, +\infty[$. 2- Continuité: somme et racine carrée sur intervalle de définition, donc continue sur $D_g$. 3- Dérivée à droite en $a=-3$: $$g'(x) = 1 - \frac{4}{2\sqrt{x+3}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x+3}}$$ En $x \to -3^+$, $\sqrt{x+3} \to 0^+$, donc $g'(x) \to -\infty$. La dérivée à droite en $-3$ est donc $-\infty$, interprétation: tangente verticale. 4- Tableau de variations à compléter en fonction du signe de $g'(x)$. 5- Sur $[1, +\infty[$ restreinte: étude de la fonction réciproque $h^{-1}$. 6- Calculs et tableau de variations des fonctions réciproques résolues dans l'analyse complète. 5. Exercice 4 : 1- Ordre de $a = (\sqrt[4]{8})^2 = 8^{1/2} = \sqrt{8} \approx 2.828$, $b = \sqrt{81} = 9$, $c = \sqrt[3]{2} \approx 1.26$ donc $$c < a < b$$ 2- Résolution des équations : - $x^7 - 5 = 0 \Rightarrow x = \sqrt[7]{5}$. - $x^6 = -2$ n’a pas de solution réelle car $x^6 \geq 0$. - $\sqrt[5]{2x} - 3 < 2 \Rightarrow \sqrt[5]{2x} < 5 \Rightarrow 2x < 5^5 = 3125 \Rightarrow x < 1562.5$. - $\sqrt[3]{3x} - 1 = 2 \Rightarrow \sqrt[3]{3x} = 3 \Rightarrow 3x = 27 \Rightarrow x=9$.