1. **Stel het probleem vast:** We hebben een lineaire grafiek en een kwadratische vergelijking gegeven. We moeten: a. De vergelijking van de lijn bepalen. b. Een tabel maken voor $y = -x^2 + 4x + 1$ met $x$ van -1 tot 5. c. De snijpunten van beide grafieken exact berekenen. 2. **Vergelijking van de lijn (a):** De lijn snijdt de y-as bij $y=1$ en gaat door $(3,0)$. De richtingscoëfficiënt $m$ is: $$m = \frac{0 - 1}{3 - 0} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$$ De vergelijking is dus: $$y = -\frac{1}{3}x + 1$$ 3. **Tabel maken voor $y = -x^2 + 4x + 1$ (b):** Bereken $y$ voor $x = -1$ tot $5$: - $x=-1$: $y = -(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -1 -4 +1 = -4$ - $x=0$: $y = 0 + 0 + 1 = 1$ - $x=1$: $y = -1 + 4 + 1 = 4$ - $x=2$: $y = -4 + 8 + 1 = 5$ - $x=3$: $y = -9 + 12 + 1 = 4$ - $x=4$: $y = -16 + 16 + 1 = 1$ - $x=5$: $y = -25 + 20 + 1 = -4$ 4. **Snijpunten berekenen (c):** Los op: $$-\frac{1}{3}x + 1 = -x^2 + 4x + 1$$ Vereenvoudig: $$-\frac{1}{3}x = -x^2 + 4x$$ Breng alles naar één kant: $$0 = -x^2 + 4x + \frac{1}{3}x$$ $$0 = -x^2 + \frac{13}{3}x$$ Vermenigvuldig met 3 om breuken te verwijderen: $$0 = -3x^2 + 13x$$ Factoriseer: $$0 = x(-3x + 13)$$ Dus: $$x=0 \quad \text{of} \quad -3x + 13 = 0$$ Los op voor $x$: $$-3x + 13 = 0 \Rightarrow 3x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3}$$ Bereken $y$ voor beide $x$-waarden met de lijnvergelijking: - Voor $x=0$: $y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = 1$ - Voor $x=\frac{13}{3}$: $$y = -\frac{1}{3} \cdot \frac{13}{3} + 1 = -\frac{13}{9} + 1 = \frac{9}{9} - \frac{13}{9} = -\frac{4}{9}$$ **Antwoorden:** - a. $y = -\frac{1}{3}x + 1$ - b. Tabel: $\{(-1,-4),(0,1),(1,4),(2,5),(3,4),(4,1),(5,-4)\}$ - c. Snijpunten: $(0,1)$ en $\left(\frac{13}{3}, -\frac{4}{9}\right)$