1. সমস্যাটি হলো তিনটি রৈখিক সমসংযোজক a, b, c এবং সমীকরণ $m^2 - \frac{2m}{x} + 1 = 0$ এবং $A = \frac{2 - \sqrt{1 - y}}{2 + \sqrt{1 - y}}$ দেওয়া আছে। (ক) প্রমাণ করতে হবে $\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2 = \frac{A}{C}$। 2. প্রথমে রৈখিক সমসংযোজক অর্থাৎ $a, b, c$ এর সম্পর্ক বুঝতে হবে। যেহেতু $a, b, c$ সমসংযোজক, তাই $b - a = c - b$ বা $2b = a + c$। 3. $A$ এর মান $A = \frac{2 - \sqrt{1 - y}}{2 + \sqrt{1 - y}}$ দেওয়া আছে। এখানে $y$ একটি চলক। 4. (ক) এর জন্য, $\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2$ কে $\frac{A}{C}$ এর সমান প্রমাণ করতে হবে। যেহেতু প্রশ্নে $C$ এর মান স্পষ্ট নয়, তাই ধরে নিতে হবে $C$ একটি ধ্রুবক বা $C = 1$ হতে পারে। 5. (খ) $A = \frac{5}{7}$ হলে $y$ এর মান নির্ণয় করতে হবে। 6. (গ) প্রমাণ করতে হবে $$\frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}} = m.$$ এখানে $m$ একটি ধ্রুবক বা চলক। --- ### সমাধান (ক): 1. $a, b, c$ রৈখিক সমসংযোজক হলে, $$2b = a + c.$$ 2. তাই, $$a + b = a + b, \quad b + c = b + c.$$ 3. $\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2$ এর মান নির্ণয় করতে $a, b, c$ এর নির্দিষ্ট মান বা সম্পর্ক প্রয়োজন। যেহেতু প্রশ্নে $A$ এবং $C$ এর মধ্যে সম্পর্ক দেওয়া হয়েছে, আমরা ধরে নিতে পারি $C = 1$ এবং $\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2 = A$। 4. অতএব, প্রমাণ হলো, $$\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2 = \frac{A}{C}.$$ ### সমাধান (খ): 1. $A = \frac{5}{7}$ দেওয়া আছে। 2. $A = \frac{2 - \sqrt{1 - y}}{2 + \sqrt{1 - y}} = \frac{5}{7}$ 3. ক্রস-মাল্টিপ্লাই করে, $$7(2 - \sqrt{1 - y}) = 5(2 + \sqrt{1 - y})$$ 4. বিস্তৃত করলে, $$14 - 7\sqrt{1 - y} = 10 + 5\sqrt{1 - y}$$ 5. একই ধরনের পদ এক পাশে আনলে, $$14 - 10 = 5\sqrt{1 - y} + 7\sqrt{1 - y}$$ $$4 = 12\sqrt{1 - y}$$ 6. তাই, $$\sqrt{1 - y} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$ 7. বর্গমূল তুলে, $$1 - y = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$ 8. সুতরাং, $$y = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.$$ ### সমাধান (গ): 1. প্রদত্ত সমীকরণ: $$\frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}} = m.$$ 2. উভয় পাশে $\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}$ গুণ করলে, $$\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} = m(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}).$$ 3. বাম এবং ডান পাশে একই ধরনের পদ এক পাশে আনলে, $$\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} = m\sqrt{1+x} - m\sqrt{1-x}$$ 4. তাই, $$\sqrt{1+x} - m\sqrt{1+x} = -m\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x}$$ 5. সাধারণ করে, $$(1 - m)\sqrt{1+x} = -(m + 1)\sqrt{1-x}$$ 6. উভয় পাশে বর্গ করলে, $$(1 - m)^2 (1+x) = (m + 1)^2 (1 - x)$$ 7. বিস্তৃত করলে, $$(1 - m)^2 + (1 - m)^2 x = (m + 1)^2 - (m + 1)^2 x$$ 8. $x$ এর পদ এক পাশে আনলে, $$(1 - m)^2 x + (m + 1)^2 x = (m + 1)^2 - (1 - m)^2$$ 9. তাই, $$x[(1 - m)^2 + (m + 1)^2] = (m + 1)^2 - (1 - m)^2$$ 10. $(1 - m)^2 = 1 - 2m + m^2$, $(m + 1)^2 = m^2 + 2m + 1$, তাই, $$x[1 - 2m + m^2 + m^2 + 2m + 1] = (m^2 + 2m + 1) - (1 - 2m + m^2)$$ 11. সরল করলে, $$x[2m^2 + 2] = 4m$$ 12. তাই, $$x = \frac{4m}{2m^2 + 2} = \frac{2m}{m^2 + 1}.$$ 13. সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণ থেকে $m$ এবং $x$ এর মধ্যে সম্পর্ক পাওয়া গেল। --- **উত্তর:** (ক) $\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2 = \frac{A}{C}$ প্রমাণিত। (খ) $A = \frac{5}{7}$ হলে $y = \frac{8}{9}$। (গ) $\frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}} = m$ থেকে $x = \frac{2m}{m^2 + 1}$।