1. **Problem statement:** Bestimme die Steigung und den y-Achsenabschnitt der linearen Funktion $f$, deren Graph durch die Punkte $P(1|2)$ und $Q(-2|11)$ verläuft. 2. **Formel für die Steigung $m$ einer linearen Funktion:** $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ Wichtig: Die Steigung beschreibt, wie stark der Graph steigt oder fällt. 3. **Berechnung der Steigung:** Setze $P(1|2)$ als $(x_1,y_1)$ und $Q(-2|11)$ als $(x_2,y_2)$ ein: $$m = \frac{11 - 2}{-2 - 1} = \frac{9}{-3} = -3$$ 4. **Bestimmung des y-Achsenabschnitts $b$:** Die Funktionsgleichung lautet allgemein: $$f(x) = mx + b$$ Setze $m = -3$ und einen Punkt, z.B. $P(1|2)$, ein: $$2 = -3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 2 + 3 = 5$$ 5. **Gleichung der Funktion $f$:** $$f(x) = -3x + 5$$ --- 6. **Problem statement:** Begründe, dass der Graph der Funktion $g$ mit $$g(x) = \frac{1}{2}x - 2$$ den Graphen von $f$ schneidet und zeige, dass $S(2|-1)$ der Schnittpunkt ist. 7. **Schnittpunkt zweier Funktionen:** Die Graphen schneiden sich, wenn $f(x) = g(x)$ gilt. 8. **Gleichsetzen der Funktionen:** $$-3x + 5 = \frac{1}{2}x - 2$$ 9. **Umformen:** $$-3x - \frac{1}{2}x = -2 - 5$$ $$-\frac{6}{2}x - \frac{1}{2}x = -7$$ $$-\frac{7}{2}x = -7$$ 10. **Kürzen mit \cancel{\frac{7}{2}}:** $$\cancel{-\frac{7}{2}}x = \cancel{-7} \Rightarrow x = 2$$ 11. **Berechnung von $f(2)$ und $g(2)$:** $$f(2) = -3 \cdot 2 + 5 = -6 + 5 = -1$$ $$g(2) = \frac{1}{2} \cdot 2 - 2 = 1 - 2 = -1$$ 12. **Ergebnis:** Beide Funktionen haben bei $x=2$ den gleichen Funktionswert $-1$, also ist $S(2|-1)$ der Schnittpunkt. **Endantwort:** - Funktion $f$: $$f(x) = -3x + 5$$ - Die Graphen von $f$ und $g$ schneiden sich. - Schnittpunkt: $$S(2|-1)$$