1. **Problemstellung:** Wir wollen die Grundform einer linearen Funktion aufstellen und die Parameter $m$ (Steigung) und $b$ (y-Achsenabschnitt) bestimmen. 2. **Formel:** Die Grundform einer linearen Funktion lautet: $$f(x) = mx + b$$ 3. **Parameter $m$ bestimmen:** Die Steigung $m$ berechnet sich aus zwei Punkten $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$ der Funktion: $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ 4. **Parameter $b$ bestimmen:** Setze einen Punkt $(x_1, y_1)$ in die Grundform ein und löse nach $b$ auf: $$y_1 = m x_1 + b \implies b = y_1 - m x_1$$ 5. **Beispiel:** Gegeben sind die Punkte $(3,7)$ und $(0,1)$. Berechne $m$: $$m = \frac{7 - 1}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2$$ Berechne $b$: $$b = 1 - 2 \cdot 0 = 1$$ 6. **Funktion aufstellen:** $$f(x) = 2x + 1$$ 7. **Funktionswert berechnen:** Für $x=5$ gilt: $$f(5) = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11$$ 8. **x-Wert bei gegebenem Funktionswert bestimmen:** Für $f(x) = 11$: $$11 = 2x + 1$$ $$11 - 1 = 2x$$ $$10 = 2x$$ $$x = \cancel{\frac{10}{2}} = 5$$ 9. **Achsenschnittpunkte:** - Schnittpunkt mit der y-Achse: $f(0) = b = 1$ - Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): $$0 = 2x + 1$$ $$-1 = 2x$$ $$x = \cancel{\frac{-1}{2}} = -0.5$$ 10. **Schnittpunkt zweier Funktionen:** Beispiel: $$f(x) = x + 1$$ $$g(x) = -2x + 7$$ Setze gleich: $$x + 1 = -2x + 7$$ $$x + 2x = 7 - 1$$ $$3x = 6$$ $$x = \cancel{\frac{6}{3}} = 2$$ Setze $x=2$ in $f(x)$ ein: $$f(2) = 2 + 1 = 3$$ Schnittpunkt ist $(2, 3)$. **Zusammenfassung:** Die lineare Funktion hat die Form $f(x) = mx + b$, wobei $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt ist. Diese Werte können aus zwei Punkten berechnet werden. Funktionswerte und Schnittpunkte lassen sich durch Einsetzen und Lösen von Gleichungen bestimmen.