1. **Problem statement:** Ermittle die Lösungen der linearen Gleichungen aus Aufgabe 5. Bestimme die Funktion, deren Graph die Lösung darstellt, und berechne die fehlenden Werte in den Punkten $(-3|\square)$ und $(\square|4)$. 2. **Formel und Regeln:** Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen $x$ und $y$ hat die Form $$ax + by = c$$ Um $y$ als Funktion von $x$ zu bestimmen, lösen wir nach $y$ auf: $$y = \frac{c - ax}{b}$$ Wichtig: $b \neq 0$. 3. **Lösung für jede Gleichung:** --- a) $6x + 4y = 20$ Löse nach $y$ auf: $$4y = 20 - 6x$$ $$y = \frac{20 - 6x}{4} = 5 - \frac{3}{2}x$$ Berechne fehlenden Wert bei $x = -3$: $$y = 5 - \frac{3}{2} \times (-3) = 5 + \frac{9}{2} = 5 + 4.5 = 9.5$$ Berechne fehlenden Wert bei $y = 4$: $$4 = 5 - \frac{3}{2}x$$ $$\frac{3}{2}x = 5 - 4 = 1$$ $$x = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$$ --- b) $3x - 5y = 10$ Löse nach $y$ auf: $$-5y = 10 - 3x$$ $$y = \frac{3x - 10}{5}$$ Berechne fehlenden Wert bei $x = -3$: $$y = \frac{3 \times (-3) - 10}{5} = \frac{-9 - 10}{5} = \frac{-19}{5} = -3.8$$ Berechne fehlenden Wert bei $y = 4$: $$4 = \frac{3x - 10}{5}$$ $$20 = 3x - 10$$ $$3x = 30$$ $$x = 10$$ --- c) $-x + 2y = 12$ Löse nach $y$ auf: $$2y = 12 + x$$ $$y = \frac{12 + x}{2} = 6 + \frac{x}{2}$$ Berechne fehlenden Wert bei $x = -3$: $$y = 6 + \frac{-3}{2} = 6 - 1.5 = 4.5$$ Berechne fehlenden Wert bei $y = 4$: $$4 = 6 + \frac{x}{2}$$ $$\frac{x}{2} = 4 - 6 = -2$$ $$x = -4$$ --- d) $-2x - y = 6$ Löse nach $y$ auf: $$-y = 6 + 2x$$ $$y = -6 - 2x$$ Berechne fehlenden Wert bei $x = -3$: $$y = -6 - 2 \times (-3) = -6 + 6 = 0$$ Berechne fehlenden Wert bei $y = 4$: $$4 = -6 - 2x$$ $$2x = -6 - 4 = -10$$ $$x = -5$$ --- e) $4x + y = -4$ Löse nach $y$ auf: $$y = -4 - 4x$$ Berechne fehlenden Wert bei $x = -3$: $$y = -4 - 4 \times (-3) = -4 + 12 = 8$$ Berechne fehlenden Wert bei $y = 4$: $$4 = -4 - 4x$$ $$4x = -4 - 4 = -8$$ $$x = -2$$ --- f) $x + 3y = 12$ Löse nach $y$ auf: $$3y = 12 - x$$ $$y = \frac{12 - x}{3} = 4 - \frac{x}{3}$$ Berechne fehlenden Wert bei $x = -3$: $$y = 4 - \frac{-3}{3} = 4 + 1 = 5$$ Berechne fehlenden Wert bei $y = 4$: $$4 = 4 - \frac{x}{3}$$ $$\frac{x}{3} = 4 - 4 = 0$$ $$x = 0$$ --- g) $-x + 2y = 5$ Löse nach $y$ auf: $$2y = 5 + x$$ $$y = \frac{5 + x}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$$ Berechne fehlenden Wert bei $x = -3$: $$y = \frac{-3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Berechne fehlenden Wert bei $y = 4$: $$4 = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$$ $$\frac{x}{2} = 4 - \frac{5}{2} = \frac{8}{2} - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$$ $$x = 3$$ --- h) $5x - 8y = 16$ Löse nach $y$ auf: $$-8y = 16 - 5x$$ $$y = \frac{5x - 16}{8}$$ Berechne fehlenden Wert bei $x = -3$: $$y = \frac{5 \times (-3) - 16}{8} = \frac{-15 - 16}{8} = \frac{-31}{8} = -3.875$$ Berechne fehlenden Wert bei $y = 4$: $$4 = \frac{5x - 16}{8}$$ $$32 = 5x - 16$$ $$5x = 48$$ $$x = \frac{48}{5} = 9.6$$ **Final answers:** | Gleichung | $y$-Funktion | $y$ bei $x=-3$ | $x$ bei $y=4$ | |---|---|---|---| | a) | $y=5 - \frac{3}{2}x$ | 9.5 | $\frac{2}{3}$ | | b) | $y=\frac{3x - 10}{5}$ | -3.8 | 10 | | c) | $y=6 + \frac{x}{2}$ | 4.5 | -4 | | d) | $y=-6 - 2x$ | 0 | -5 | | e) | $y=-4 - 4x$ | 8 | -2 | | f) | $y=4 - \frac{x}{3}$ | 5 | 0 | | g) | $y=\frac{x}{2} + \frac{5}{2}$ | 1 | 3 | | h) | $y=\frac{5x - 16}{8}$ | -3.875 | 9.6 |