1. **Problemstellung:** Wir sollen die Linearfaktordarstellung der quadratischen Funktion $$h(x) = 4x^2 + 3x + \frac{1}{2}$$ bestimmen. 2. **Formel:** Für eine quadratische Funktion $$ax^2 + bx + c$$ verwendet man die Mitternachtsformel (Lösungsformel) zur Bestimmung der Nullstellen: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Diese Nullstellen sind die Werte, bei denen $$h(x) = 0$$ ist, und ermöglichen die Linearfaktordarstellung: $$h(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$ 3. **Parameter einsetzen:** $$a = 4, \quad b = 3, \quad c = \frac{1}{2}$$ 4. **Diskriminante berechnen:** $$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 9 - 8 = 1$$ 5. **Nullstellen berechnen:** $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 \pm 1}{8}$$ 6. **Erste Nullstelle:** $$x_1 = \frac{-3 + 1}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$$ 7. **Zweite Nullstelle:** $$x_2 = \frac{-3 - 1}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$$ 8. **Linearfaktordarstellung:** $$h(x) = 4 \left(x - \left(-\frac{1}{4}\right)\right) \left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = 4 \left(x + \frac{1}{4}\right) \left(x + \frac{1}{2}\right)$$ **Endergebnis:** $$h(x) = 4 \left(x + \frac{1}{4}\right) \left(x + \frac{1}{2}\right)$$