1. **Problemstellung:** Wir sollen die Linearfaktordarstellung der quadratischen Funktion $$h(x) = 4x^2 + 3x + \frac{1}{2}$$ ermitteln, falls möglich. 2. **Formel und Vorgehen:** Die Linearfaktordarstellung einer quadratischen Funktion $$ax^2 + bx + c$$ ist möglich, wenn die Diskriminante $$\Delta = b^2 - 4ac$$ nicht negativ ist. Dann gilt: $$h(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$ mit den Nullstellen $$x_1$$ und $$x_2$$. 3. **Diskriminante berechnen:** $$a = 4, \quad b = 3, \quad c = \frac{1}{2}$$ $$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 9 - 8 = 1$$ 4. **Nullstellen berechnen:** $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 \pm 1}{8}$$ 5. **Einzelne Nullstellen:** $$x_1 = \frac{-3 + 1}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$$ $$x_2 = \frac{-3 - 1}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$$ 6. **Linearfaktordarstellung aufschreiben:** $$h(x) = 4 \left(x - \left(-\frac{1}{4}\right)\right) \left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = 4 \left(x + \frac{1}{4}\right) \left(x + \frac{1}{2}\right)$$ **Antwort:** Die Linearfaktordarstellung von $$h(x) = 4x^2 + 3x + \frac{1}{2}$$ ist $$h(x) = 4 \left(x + \frac{1}{4}\right) \left(x + \frac{1}{2}\right)$$.