1. Problema 1: Determinarea literei de pe poziția 2025 în șirul "COANDĂ2025" repetat. Șirul este "COANDĂ2025" cu 10 caractere: C(1), O(2), A(3), N(4), D(5), Ă(6), 2(7), 0(8), 2(9), 5(10). 2. Pentru a afla litera de pe poziția 2025, calculăm restul împărțirii lui 2025 la 10: $$2025 \mod 10 = 5$$ 3. Poziția 5 corespunde literei D. 4. Numărăm câte cifre 0 și litere O sunt până la poziția 2025 inclusiv. Într-un ciclu de 10 caractere avem: - O la poziția 2 - 0 la poziția 8 Deci în fiecare ciclu de 10 caractere sunt 2 caractere de interes. 5. Numărul complet de cicluri până la poziția 2025 este: $$\frac{2025 - 5}{10} = 202$$ cicluri complete plus 5 caractere din următorul ciclu. 6. Numărul total de O și 0 în 202 cicluri este: $$202 \times 2 = 404$$ 7. În ultimele 5 caractere (pozițiile 1-5 ale ciclului următor) avem caracterele: C(1), O(2), A(3), N(4), D(5). Doar O la poziția 2 este relevant, deci adăugăm 1. 8. Totalul cifrelor 0 și literelor O până la poziția 2025 este: $$404 + 1 = 405$$ --- 1. Problema 2: Găsirea doimii produsului numerelor a și b din relația: $$\{23 - 2 \times [5 + \frac{a - 3}{2}]\} \times \{6 - 4 \times \frac{18 - (b + 2)}{8}\} = 9$$ 2. Simplificăm fiecare parte: Partea 1: $$23 - 2 \times \left(5 + \frac{a - 3}{2}\right) = 23 - 2 \times 5 - 2 \times \frac{a - 3}{2} = 23 - 10 - (a - 3) = 16 - a$$ Partea 2: $$6 - 4 \times \frac{18 - (b + 2)}{8} = 6 - 4 \times \frac{16 - b}{8} = 6 - \frac{4}{8} (16 - b) = 6 - \frac{1}{2} (16 - b) = 6 - 8 + \frac{b}{2} = -2 + \frac{b}{2}$$ 3. Relația devine: $$(16 - a) \times \left(-2 + \frac{b}{2}\right) = 9$$ 4. Rescriem: $$(16 - a) \times \left(\frac{b}{2} - 2\right) = 9$$ 5. Înmulțim ambele părți cu 2 pentru a elimina fracția: $$2 (16 - a) \times (b - 4) = 18$$ 6. Observăm că $2(16 - a)(b - 4) = 18$ deci: $$(16 - a)(b - 4) = 9$$ 7. Căutăm perechi întregi $(a,b)$ care satisfac această ecuație. Deoarece 9 are divizori 1,3,9 și -1,-3,-9, posibile valori pentru $(16 - a)$ și $(b - 4)$ sunt: $$(16 - a, b - 4) = (1,9), (3,3), (9,1), (-1,-9), (-3,-3), (-9,-1)$$ 8. Calculăm $a$ și $b$ pentru fiecare: - Pentru $(1,9)$: $a=15$, $b=13$ - Pentru $(3,3)$: $a=13$, $b=7$ - Pentru $(9,1)$: $a=7$, $b=5$ - Pentru $(-1,-9)$: $a=17$, $b=-5$ - Pentru $(-3,-3)$: $a=19$, $b=1$ - Pentru $(-9,-1)$: $a=25$, $b=3$ 9. Produsul $a \times b$ pentru fiecare: - $15 \times 13 = 195$ - $13 \times 7 = 91$ - $7 \times 5 = 35$ - $17 \times (-5) = -85$ - $19 \times 1 = 19$ - $25 \times 3 = 75$ 10. Doimea unui număr este numărul de divizori 2 în descompunerea sa în factori primi. 11. Calculăm doimea pentru fiecare produs: - $195 = 3 \times 5 \times 13$, doimea = 0 - $91 = 7 \times 13$, doimea = 0 - $35 = 5 \times 7$, doimea = 0 - $-85 = -1 \times 5 \times 17$, doimea = 0 - $19$ prim, doimea = 0 - $75 = 3 \times 5^2$, doimea = 0 12. Toate produsele sunt impare, deci doimea este 0. --- "slug": "litera-2025", "subject": "algebra", "desmos": {"latex": "", "features": {"intercepts": true, "extrema": true}}, "q_count": 6