1. El problema es resolver la ecuación $$\log_2 x + \log_2 (x+2) = 3$$. 2. Primero, definimos el dominio para que los logaritmos existan: $$x > 0$$ y $$x + 2 > 0 \Rightarrow x > 0$$. 3. Usamos la propiedad de logaritmos: $$\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$$, entonces $$\log_2 x + \log_2 (x+2) = \log_2 \bigl(x(x+2)\bigr)$$. 4. La ecuación queda $$\log_2 \bigl(x(x+2)\bigr) = 3$$. 5. Para pasar a forma exponencial, recordamos que $$\log_a b = c \iff b = a^c$$. 6. Aplicando esto, $$x(x+2) = 2^3$$. 7. El número 3 viene del lado derecho de la ecuación original, que es el resultado del logaritmo. 8. Calculamos $$2^3 = 8$$, por lo que $$x(x+2) = 8$$. 9. Expandimos y formamos la ecuación cuadrática: $$x^2 + 2x = 8$$ $$x^2 + 2x - 8 = 0$$. 10. Resolvemos usando la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}$$. 11. Simplificamos: $$x = \frac{-2 \pm 6}{2}$$. 12. Dos soluciones: - $$x = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ - $$x = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$. 13. Verificamos el dominio: $$x > 0$$, entonces descartamos $$x = -4$$. 14. La solución válida es $$\boxed{2}$$.