1. Planteamos el problema: desarrollar la expresión $$\log \left( \sqrt{\frac{(x+6)^3}{x^5}} \right)$$ usando propiedades de logaritmos y sin radicales ni exponentes. 2. Recordemos que $$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$$ y que $$\log(a^b) = b \log(a)$$. 3. Aplicamos la propiedad de la raíz como exponente: $$\log \left( \left( \frac{(x+6)^3}{x^5} \right)^{\frac{1}{2}} \right)$$ 4. Usamos la propiedad del logaritmo de potencia: $$= \frac{1}{2} \log \left( \frac{(x+6)^3}{x^5} \right)$$ 5. Aplicamos la propiedad del logaritmo del cociente: $$= \frac{1}{2} \left( \log \left( (x+6)^3 \right) - \log \left( x^5 \right) \right)$$ 6. Aplicamos la propiedad del logaritmo de potencia en cada término: $$= \frac{1}{2} \left( 3 \log (x+6) - 5 \log x \right)$$ 7. Distribuimos $$\frac{1}{2}$$: $$= \frac{3}{2} \log (x+6) - \frac{5}{2} \log x$$ Respuesta final sin radicales ni exponentes en la expresión del logaritmo: $$\boxed{\frac{3}{2} \log (x+6) - \frac{5}{2} \log x}$$