1. Enunciado: Determine o valor de $$\log_a \left( \frac{a^2}{\sqrt[3]{b}} \right) \times \log_b \left( \frac{c^2 \sqrt{b}}{a^3} \right)$$ sabendo que $\log_a b = -\frac{1}{2}$ e $\log_c b = 4$. 2. Relembrando propriedades importantes dos logaritmos: - $\log_x (y z) = \log_x y + \log_x z$ - $\log_x \left( \frac{y}{z} \right) = \log_x y - \log_x z$ - $\log_x (y^k) = k \log_x y$ - Mudança de base: $\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}$ para qualquer base $z$. 3. Calculando o primeiro logaritmo: $$\log_a \left( \frac{a^2}{\sqrt[3]{b}} \right) = \log_a (a^2) - \log_a (b^{1/3}) = 2 \log_a a - \frac{1}{3} \log_a b$$ Como $\log_a a = 1$ e $\log_a b = -\frac{1}{2}$, temos: $$= 2 - \frac{1}{3} \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 2 + \frac{1}{6} = \frac{12}{6} + \frac{1}{6} = \frac{13}{6}$$ 4. Calculando o segundo logaritmo: $$\log_b \left( \frac{c^2 \sqrt{b}}{a^3} \right) = \log_b (c^2) + \log_b (b^{1/2}) - \log_b (a^3) = 2 \log_b c + \frac{1}{2} \log_b b - 3 \log_b a$$ Sabemos que $\log_b b = 1$. Usando mudança de base para $\log_b c$ e $\log_b a$: $$\log_b c = \frac{1}{\log_c b} = \frac{1}{4}$$ $$\log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$$ Logo: $$2 \times \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \times 1 - 3 \times (-2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 6 = 7$$ 5. Multiplicando os dois resultados: $$\frac{13}{6} \times 7 = \frac{91}{6}$$ Resposta final: $\boxed{\frac{91}{6}}$