1. Planteamos el problema: Dado que $\log_{\sqrt[4]{3}} \sqrt[3]{2} = x$, hallar el valor de $$\frac{\log 32}{\log 9}$$. 2. Recordemos que el cambio de base para logaritmos es $$\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$$, donde el logaritmo puede ser en cualquier base común (por ejemplo, base 10 o base e). 3. Primero, expresamos $x$ en términos de logaritmos comunes: $$x = \log_{\sqrt[4]{3}} \sqrt[3]{2} = \frac{\log \sqrt[3]{2}}{\log \sqrt[4]{3}}$$ 4. Simplificamos los logaritmos usando propiedades: $$\log \sqrt[3]{2} = \log 2^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \log 2$$ $$\log \sqrt[4]{3} = \log 3^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} \log 3$$ 5. Por lo tanto: $$x = \frac{\frac{1}{3} \log 2}{\frac{1}{4} \log 3} = \frac{1}{3} \log 2 \times \frac{4}{1} \frac{1}{\log 3} = \frac{4}{3} \frac{\log 2}{\log 3}$$ 6. Ahora, queremos hallar $$\frac{\log 32}{\log 9}$$. 7. Descomponemos los números: $$32 = 2^5 \Rightarrow \log 32 = \log 2^5 = 5 \log 2$$ $$9 = 3^2 \Rightarrow \log 9 = \log 3^2 = 2 \log 3$$ 8. Entonces: $$\frac{\log 32}{\log 9} = \frac{5 \log 2}{2 \log 3}$$ 9. Observamos que $x = \frac{4}{3} \frac{\log 2}{\log 3}$, despejamos $\frac{\log 2}{\log 3}$: $$\frac{\log 2}{\log 3} = \frac{3}{4} x$$ 10. Sustituimos en la expresión: $$\frac{\log 32}{\log 9} = \frac{5}{2} \times \frac{3}{4} x = \frac{15}{8} x$$ **Respuesta final:** $$\boxed{\frac{\log 32}{\log 9} = \frac{15}{8} x}$$