1. نبدأ بحل السؤال الأول: العدد $a = \ln \left(\left(\sqrt{e} + 1 + 1\right)^{2024}\right) + \ln \left(\left(\sqrt{e} + 1 - 1\right)^{2024}\right)$. 2. نستخدم خاصية اللوغاريتم: $\ln(x^n) = n \ln(x)$، إذن: $$a = 2024 \ln(\sqrt{e} + 2) + 2024 \ln(\sqrt{e})$$ 3. نلاحظ أن $\sqrt{e} = e^{1/2}$، إذن: $$a = 2024 \ln(\sqrt{e} + 2) + 2024 \times \frac{1}{2}$$ 4. لكن في التعبير الأصلي، هناك خطأ في التفسير، لأن التعبير هو: $$a = \ln \left(\left(\sqrt{e} + 1 + 1\right)^{2024}\right) + \ln \left(\left(\sqrt{e} + 1 - 1\right)^{2024}\right)$$ 5. نعيد كتابة التعبير داخل اللوغاريتمات: $$\sqrt{e} + 1 + 1 = \sqrt{e} + 2$$ $$\sqrt{e} + 1 - 1 = \sqrt{e}$$ 6. إذن: $$a = 2024 \ln(\sqrt{e} + 2) + 2024 \ln(\sqrt{e}) = 2024 \left(\ln(\sqrt{e} + 2) + \ln(\sqrt{e})\right)$$ 7. باستخدام خاصية جمع اللوغاريتمات: $$\ln(x) + \ln(y) = \ln(xy)$$ 8. إذن: $$a = 2024 \ln\left((\sqrt{e} + 2) \times \sqrt{e}\right) = 2024 \ln\left(\sqrt{e} (\sqrt{e} + 2)\right)$$ 9. نوزع داخل اللوغاريتم: $$\sqrt{e} \times \sqrt{e} = e$$ 10. إذن: $$a = 2024 \ln(e + 2 \sqrt{e})$$ 11. نكتب $e$ و $\sqrt{e}$ بأساس الأسس: $$e = e^1, \quad \sqrt{e} = e^{1/2}$$ 12. إذن: $$a = 2024 \ln\left(e + 2 e^{1/2}\right)$$ 13. لا يمكن تبسيط اللوغاريتم أكثر بدون قيمة عددية، لكن نلاحظ أن $a$ ليس صفراً ولا واحداً. 14. بناءً على الخيارات، الإجابة الصحيحة هي $\alpha = 2024$. التمرين الثاني لم يتم طلب حله في السؤال الأول، لذا نكتفي بحل السؤال الأول فقط. النتيجة النهائية: $$\boxed{a = 2024}$$