1. **Problema:** Dado que $\log_a\left(\frac{a^2}{b}\right) = 3$, determine o valor de $\log_a\left(\sqrt{a^5 b^4}\right)$. 2. **Fórmulas e regras importantes:** - Propriedade do logaritmo do quociente: $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$. - Propriedade do logaritmo da potência: $\log_a(x^r) = r \log_a(x)$. - A raiz quadrada pode ser expressa como potência de expoente $\frac{1}{2}$. 3. **Encontrar $\log_a\left(\frac{a^2}{b}\right)$:** $$\log_a\left(\frac{a^2}{b}\right) = \log_a(a^2) - \log_a(b) = 2 - \log_a(b) = 3$$ 4. **Isolando $\log_a(b)$:** $$2 - \log_a(b) = 3 \Rightarrow -\log_a(b) = 3 - 2 = 1 \Rightarrow \log_a(b) = -1$$ 5. **Calcular $\log_a\left(\sqrt{a^5 b^4}\right)$:** Expressar a raiz quadrada como potência: $$\sqrt{a^5 b^4} = (a^5 b^4)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}} b^2$$ 6. **Aplicar a propriedade do logaritmo do produto:** $$\log_a\left(a^{\frac{5}{2}} b^2\right) = \log_a\left(a^{\frac{5}{2}}\right) + \log_a\left(b^2\right) = \frac{5}{2} \log_a(a) + 2 \log_a(b)$$ 7. **Sabendo que $\log_a(a) = 1$ e $\log_a(b) = -1$:** $$\frac{5}{2} \times 1 + 2 \times (-1) = \frac{5}{2} - 2 = \frac{5}{2} - \frac{4}{2} = \frac{1}{2}$$ **Resposta final:** $$\boxed{\frac{1}{2}}$$ **Alternativa correta:** (C) ---