1. Énonçons le problème : Vérifier si les expressions $\log(5x^3) + \log 2 - 2 \log(8x^2)$ et $\log(2x) + \log 5 - 3 \log(4x)$ sont équivalentes. 2. Rappel des propriétés des logarithmes : - $\log a + \log b = \log(ab)$ - $n \log a = \log(a^n)$ - $\log a - \log b = \log\left(\frac{a}{b}\right)$ 3. Simplifions la première expression : $$\log(5x^3) + \log 2 - 2 \log(8x^2) = \log(5x^3 \times 2) - \log((8x^2)^2)$$ $$= \log(10x^3) - \log(64x^4) = \log\left(\frac{10x^3}{64x^4}\right)$$ 4. Simplifions la fraction en annulant $x^3$ au numérateur et dénominateur : $$\log\left(\frac{10\cancel{x^3}}{64x^{\cancel{3}}x}\right) = \log\left(\frac{10}{64x}\right)$$ 5. Simplifions la fraction $\frac{10}{64}$ en annulant par 2 : $$\log\left(\frac{\cancel{2}5}{\cancel{2}32x}\right) = \log\left(\frac{5}{32x}\right)$$ 6. Simplifions la deuxième expression : $$\log(2x) + \log 5 - 3 \log(4x) = \log(2x \times 5) - \log((4x)^3)$$ $$= \log(10x) - \log(64x^3) = \log\left(\frac{10x}{64x^3}\right)$$ 7. Simplifions la fraction en annulant $x$ au numérateur et dénominateur : $$\log\left(\frac{10\cancel{x}}{64x^{\cancel{1}}x^2}\right) = \log\left(\frac{10}{64x^2}\right)$$ 8. Simplifions la fraction $\frac{10}{64}$ en annulant par 2 : $$\log\left(\frac{\cancel{2}5}{\cancel{2}32x^2}\right) = \log\left(\frac{5}{32x^2}\right)$$ 9. Conclusion : La première expression est $\log\left(\frac{5}{32x}\right)$ et la deuxième est $\log\left(\frac{5}{32x^2}\right)$. Elles ne sont donc pas équivalentes car les dénominateurs diffèrent par une puissance de $x$. Réponse : Non, Béatrice a tort, les expressions ne sont pas équivalentes.