1. **Énoncé du problème :** Montrer que $$\ln(9) + \ln\left(\frac{3}{7}\right) + 2 \ln(\sqrt{7}) + \ln\left(\frac{e}{27}\right) = 1.$$\n\n2. **Rappel des propriétés des logarithmes :**\n- $$\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$$\n- $$k \ln(a) = \ln(a^k)$$\n- $$\ln(e) = 1$$\n\n3. **Application des propriétés :**\nOn regroupe les termes en un seul logarithme :\n$$\ln(9) + \ln\left(\frac{3}{7}\right) + 2 \ln(\sqrt{7}) + \ln\left(\frac{e}{27}\right) = \ln\left(9 \times \frac{3}{7} \times (\sqrt{7})^2 \times \frac{e}{27}\right)$$\n\n4. **Simplification à l'intérieur du logarithme :**\nOn calcule chaque facteur :\n- $$9 = 3^2$$\n- $$(\sqrt{7})^2 = 7$$\n- $$\frac{3}{7}$$ reste tel quel\n- $$\frac{e}{27}$$ reste tel quel\n\nDonc :\n$$9 \times \frac{3}{7} \times 7 \times \frac{e}{27} = \frac{9 \times 3 \times 7 \times e}{7 \times 27}$$\n\n5. **Annulation des facteurs communs :**\nOn simplifie le numérateur et le dénominateur :\n$$\frac{9 \times 3 \times 7 \times e}{7 \times 27} = \frac{\cancel{7} \times 9 \times 3 \times e}{\cancel{7} \times 27} = \frac{9 \times 3 \times e}{27}$$\n\n6. **Simplification supplémentaire :**\n$$\frac{9 \times 3 \times e}{27} = \frac{27 e}{27} = e$$\n\n7. **Conclusion :**\nDonc, l'expression initiale est égale à $$\ln(e) = 1$$, ce qui montre bien que :\n$$\ln(9) + \ln\left(\frac{3}{7}\right) + 2 \ln(\sqrt{7}) + \ln\left(\frac{e}{27}\right) = 1.$$