1. **Énoncé du problème :** Résoudre l'équation logarithmique $$\ln(x+1) - \ln(x-3) = \ln(6x - 9)$$. 2. **Formule utilisée :** Rappelons que $$\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ pour $$a,b > 0$$. 3. **Application de la formule :** On peut écrire l'équation comme : $$\ln\left(\frac{x+1}{x-3}\right) = \ln(6x - 9)$$ 4. **Équation équivalente :** Puisque $$\ln(A) = \ln(B) \implies A = B$$ (pour $$A,B > 0$$), on a : $$\frac{x+1}{x-3} = 6x - 9$$ 5. **Résolution de l'équation :** Multiplions les deux côtés par $$x-3$$ (en supposant $$x \neq 3$$) : $$x + 1 = (6x - 9)(x - 3)$$ Développons le membre de droite : $$x + 1 = 6x^2 - 18x - 9x + 27 = 6x^2 - 27x + 27$$ 6. **Mise sous forme standard :** $$0 = 6x^2 - 27x + 27 - x - 1 = 6x^2 - 28x + 26$$ 7. **Simplification :** Divisons toute l'équation par 2 : $$0 = 3x^2 - 14x + 13$$ 8. **Calcul du discriminant :** $$\Delta = (-14)^2 - 4 \times 3 \times 13 = 196 - 156 = 40$$ 9. **Solutions :** $$x = \frac{14 \pm \sqrt{40}}{2 \times 3} = \frac{14 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{7 \pm \sqrt{10}}{3}$$ 10. **Vérification du domaine :** - Pour $$\ln(x+1)$$, il faut $$x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$$ - Pour $$\ln(x-3)$$, il faut $$x-3 > 0 \Rightarrow x > 3$$ - Pour $$\ln(6x - 9)$$, il faut $$6x - 9 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2}$$ Donc, la solution doit vérifier $$x > 3$$. 11. **Test des solutions :** - $$x_1 = \frac{7 - \sqrt{10}}{3} \approx \frac{7 - 3.16}{3} = \frac{3.84}{3} = 1.28 < 3$$ (non valide) - $$x_2 = \frac{7 + \sqrt{10}}{3} \approx \frac{7 + 3.16}{3} = \frac{10.16}{3} = 3.39 > 3$$ (valide) **Réponse finale :** $$\boxed{x = \frac{7 + \sqrt{10}}{3}}$$