1. نبدأ بحل المعادلة الأولى من تمرين 4 (A): المعادلة هي $$\ln\left(\frac{x+2}{x+1}\right) = \ln(x+3)$$ 2. بما أن دالة اللوغاريتم الطبيعي $\ln$ دالة متزايدة، فإن: $$\frac{x+2}{x+1} = x+3$$ 3. نضرب طرفي المعادلة في $x+1$ (مع مراعاة $x \neq -1$): $$x+2 = (x+3)(x+1)$$ 4. نوسع الطرف الأيمن: $$x+2 = x^2 + 4x + 3$$ 5. ننقل كل الحدود إلى جهة واحدة: $$0 = x^2 + 4x + 3 - x - 2$$ $$0 = x^2 + 3x + 1$$ 6. نستخدم صيغة حل المعادلة التربيعية: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times 1}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$$ 7. نتحقق من مجال الحلول لأن $x+1 > 0$ و $x+3 > 0$ و $x+2 > 0$ (لأنها داخل لوغاريتمات): - $x > -1$ - $x > -3$ - $x > -2$ إذن المجال هو $x > -1$. 8. نختبر الحلول: - $x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx -0.38 > -1$ مقبول - $x = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \approx -2.62 < -1$ غير مقبول 9. إذن الحل الوحيد هو: $$x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$ النتيجة النهائية: $$x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$