1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación $2 \log x - \log (x^2 - 6) = 1$. 2. Usamos la propiedad de logaritmos: $a \log b = \log b^a$ y la propiedad de la resta de logaritmos: $\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$. 3. Aplicamos estas propiedades para simplificar la ecuación: $$2 \log x - \log (x^2 - 6) = \log x^2 - \log (x^2 - 6) = \log \frac{x^2}{x^2 - 6}$$ 4. Entonces la ecuación queda: $$\log \frac{x^2}{x^2 - 6} = 1$$ 5. Recordamos que $\log a = b$ implica $a = 10^b$, por lo que: $$\frac{x^2}{x^2 - 6} = 10^1 = 10$$ 6. Multiplicamos ambos lados por $x^2 - 6$ para eliminar el denominador: $$x^2 = 10(x^2 - 6)$$ 7. Expandimos y simplificamos: $$x^2 = 10x^2 - 60$$ 8. Restamos $10x^2$ de ambos lados: $$x^2 - 10x^2 = -60$$ $$\cancel{x^2} - 10\cancel{x^2} = -60$$ $$-9x^2 = -60$$ 9. Dividimos ambos lados entre $-9$: $$x^2 = \frac{-60}{-9} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}$$ 10. Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados: $$x = \pm \sqrt{\frac{20}{3}} = \pm \frac{2\sqrt{15}}{3}$$ 11. Verificamos que los valores de $x$ sean válidos en la ecuación original (el argumento de los logaritmos debe ser positivo): - Para $x = \frac{2\sqrt{15}}{3}$, $x > 0$ y $x^2 - 6 = \frac{20}{3} - 6 = \frac{20 - 18}{3} = \frac{2}{3} > 0$, válido. - Para $x = -\frac{2\sqrt{15}}{3}$, $x < 0$ y $\log x$ no está definido, no válido. 12. Por lo tanto, la solución es: $$x = \frac{2\sqrt{15}}{3}$$