1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación $$\log_2 x - \log_x 8 = 2$$. 2. Recordemos que el cambio de base para logaritmos es $$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$ para cualquier base $$c$$. 3. Aplicamos el cambio de base a $$\log_x 8$$ usando base 2: $$\log_x 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 x}$$. 4. Sabemos que $$\log_2 8 = 3$$ porque $$2^3 = 8$$. 5. Sustituimos en la ecuación original: $$\log_2 x - \frac{3}{\log_2 x} = 2$$. 6. Sea $$y = \log_2 x$$, entonces la ecuación queda: $$y - \frac{3}{y} = 2$$. 7. Multiplicamos ambos lados por $$y$$ para eliminar el denominador: $$y^2 - 3 = 2y$$. 8. Reorganizamos para formar una ecuación cuadrática: $$y^2 - 2y - 3 = 0$$. 9. Factorizamos la ecuación cuadrática: $$(y - 3)(y + 1) = 0$$. 10. Por lo tanto, $$y = 3$$ o $$y = -1$$. 11. Recordando que $$y = \log_2 x$$, tenemos dos casos: - Si $$\log_2 x = 3$$, entonces $$x = 2^3 = 8$$. - Si $$\log_2 x = -1$$, entonces $$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$. 12. Verificamos que ambos valores son válidos para la ecuación original (ambos $$x > 0$$ y $$x \neq 1$$). 13. Por lo tanto, la solución es $$x = 8$$ o $$x = \frac{1}{2}$$.